Fysik

En skiløbers hastighed - acceleration, Vejen til Fysik B2, Opgave 145, Side 204, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

11. maj kl. 16:30 af ca10 - Niveau: B-niveau

OPgave 145

I en tidligere eksamensopgave i matematik har man angivet følgende forskrift for en skiløbers hastighed som funktion af tiden:

e^{0,17 • t} - 1

v ( t ) = 84 ( m / s ) • --------------------

e^{0,17 • t} + 1

a. Hvor stor hastigheden efter 10 sekunders forløb?

Mit forsøg:

e^{0,17 • 10} - 1

v ( 10 ) = 84 ( m / s ) •------------------------ = 58 m / s

e^{0,17 • 10}+ 1

Det passer med facitlisten side 209.

b. Bestem accelerationen efter 10 sekunders forløb

--------------------------------------------------------------------

Mit forsøg.

v ´ ( t ) = a ( t )

Jeg bruger brøkreglen:

f ( x )

Hvis f og g er differentiable og g ( x ) ≠ 0, er h ( x ) = ----------

g ( x )

differentiabel:

f ´ ( x ) • g ( x ) - f ( x ) • g ´ ( x )

h ´ ( x ) = --------------------------------------------

( g ( x ) )²

Således:

( e^{0,17 • 10} - 1 )´ • ( e^{0,17 • 10}+1 ) - ( e^{0,17 • 10} - 1 ) • ( e^{0,17 • 10} +1 )´

a ( 10 ) = 84 ( m / s ) • ------------------------------------------------------------------------------------------------

( e^{0,17 • 10} + 1 )²

( e^{0,17 • 10 s}) • ( e^{0,17 • 10 s}+ 1 ) - ( e^{0,17 • 10 s}- 1 ) • ( e^{0,17 • 10 s} )

= 84 ( m / s ) • ------------------------------------------------------------------------------------------------

( e^{0,17 • 10 +} 1 )²

= 2,89 m / s²

I facitlisten side 209 er løsningen 3,73 m / s².

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert i min bestemmelse af accelerationen efter 10 sekunders forløb ?

c. Hvor stor er den tilbagelagte afstand efter 10 sekunders forløb ?

Mit forsøg:

s ( t ) = 1 / 2 • a t² + v₀t + s₀ Jeg antager at her er s₀ = 0

og jeg går ud fra at s ( t ) er stamfunktion til v ( t )

Problemet er at man ikke har integralregning på niveau B

Men ved at kigge i en formelsamling

funktion Stamfunktion

f ( x ) ∫ f ( x ) dx

e^{k • x} 1 / k • e^{k • x}

e^{0,17 • t} - 1

s ( t ) = ∫ 84 ( m / s ) • -------------------- dt

e^{0,17 • t}+ 1

e^{0,17 • t} - 1 e^{0,17 • t} - 1

s ( t ) = ∫ 84 ( m / s ) • -------------------- dt = 84 ( m / s ) • ∫ -------------------- dt

e^{0,17 • t} + 1 e^{0,17 • t +} 1

(1 ) / 0,17) • e^{0,17 • t} - 1 • t

84 ( m / s ) • ---------------------------------------

(1 / 0,17 ) • e^{0,17 • t} + 1 • t

(1 ) / 0,17) • e^{0,17 • 10s}- 1 •10s - 26,62

s ( 10 s ) = 84 ( m / s ) • ---------------------------------------------------- = ------------------

(1 / 0,17 ) • e^{0,17 • 10s +} 1 • 10s 91,02

Jeg kan godt se at min måde at bestemme hvor stor den tilbagelagte afstand efter 10 sekunders forløb er forkert da en afstand ikke kan være negativ.

I facitlisten side 209 er løsningen 321 m.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert ?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 145.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. maj kl. 18:59 af ringstedLC

b) Du differentierer jo slet ikke f og g i acc.-formlen:

$\begin{align*} v'(t)=a(t) &= 0.17\cdot 168\cdot \frac{e^{0.17\,t}}{\bigl(e^{0.17\,t}+1\bigr)^2} \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
11. maj kl. 19:05 af ringstedLC

$\begin{align*} s(t) &= \tfrac{1}{2}\, a\,t^2+v_0\, t+s_0\;,\;a={\color{Red} konstant} \end{align*}$

kan derfor ikke bruges, da a afhænger af t.

Men du er inde på noget rigtigt, da arealet (det bestemte integral) under grafen for v(t) er den tilbagelagte afstand s:

$\begin{align*} s(10) &= \int_0^{10}\!v(t)\,\mathrm{d}t=321\,\textup{m} \end{align*}$

Dette beregnes med CAS.

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. maj kl. 19:09 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Svar #4
11. maj kl. 20:32 af ca10

Jeg ser i første omgang på

Svar #1 ringstedLC

Du skriver:

b) Du differentierer jo slet ikke f og g i acc.-formlen:

e ^0,17 • t

v ´ ( t ) = a ( t ) = 0,17 • 168 • ---------------------------

( e^{0,17 • t} + 1 )²

Kan du ikke vise mere præcist hvordan man diffentierer v ( t ) så man kommer frem til:

e^0,17 • t

v ´ ( t ) = a ( t ) = 0,17 • 168 • ---------------------------

( e^{0,17 • t} + 1 )²

for jeg kan ikke umiddeltbart gennemskue hvordan man differentierer v ( t ) så v ´ ( t ) = a ( t ).

Svar #2 ringstedLC og Svar # 3 ringstedLC er jeg igang med at gennemgå.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. maj kl. 20:47 af M2023

#0. Jeg indsætter lige billedet.

Vedhæftet fil:2090358.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. maj kl. 21:28 af Eksperimentalfysikeren

#4:

Når du differentiere e^0,17t, skal resultatet blive 0,17e^0,17t. Det er herfra faktoren 0,17 kommer.

Hvis du i tælleren ganger parenteserne ud og reducerer, får du 2e^0,17t i tælleren. 2*84 = 168.

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. maj kl. 21:39 af ringstedLC

$\begin{align*} h'(t) &= \frac{f'(t)\cdot g(t)-f(t)\cdot g'(t)}{g(t)^{\,2}} &&, \quad\, f(t)=e^{k\,t}-1\;,\;g(t)=e^{k\,t}+1 \\&&&\Rightarrow f'(t)=k\,e^{k\,t}=g'(t) \\ h'(t) &= \frac{k\,e^{k\,t}\cdot \Bigl(e^{k\,t}+1-\bigl(e^{k\,t}-1\bigr)\Bigr)}{\bigl(e^{0.17\,t}+1\bigr)^2}=2\,k\cdot \frac{e^{k\,t}}{g(t)^{\,2}} \end{align*}$

Svar #8
12. maj kl. 09:52 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

Brugbart svar (1)

Svar #9
13. maj kl. 13:15 af Eksperimentalfysikeren

Det kan lette arbejdet, hvis man benytte hyperbolske funktioner:

cosh(x) = (e^x+e^-x)/2

sinh(x) = (e^x-e^-x)/2

cosh'(x) = sinh(x)

sinh'(x) = cosh(x)

cosh²(x)-sinh²(x) =1

Start med at forlænge brøken med e^-0,17t/2.

Heraf fås brøken til sinh(0,17t/2)/cosh(0,17t/2)

Når accelerationen skal findes, benyttes differentiation af en brøk og ligninerne ovenfor; husk at differentiere 0,17t/2.

Ved integrationen benyttes, at sinh(x) = cosh'(x) og at

$\int \frac{f'(x)}{f(x)})dx = ln(f(x))$

Svar #10
13. maj kl. 14:03 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. maj kl. 14:38 af M2023

#0. Løsning i Wolfram Alpha:

$a)\;84\cdot \frac{e^{0.17\cdot x}-1}{e^{0.17\cdot x}+1},x=10\rightarrow 58.049$

$b)\;Derivative\;of\left (84\cdot \frac{e^{0.17\cdot x}-1}{e^{0.17\cdot x}+1}\right ),x=10\rightarrow 3.7301$

$c)\;Antiderivative\;of\left (84\cdot \frac{e^{0.17\cdot x}-1}{e^{0.17\cdot x}+1}\right ),x=0,10\rightarrow 320.82$

Svar #12
13. maj kl. 14:52 af ca10

Til Svar #11 M2023

Tak for svaret

Men jeg kender ikke Wolfram Alpha.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #13
13. maj kl. 15:46 af M2023

#12. Prøv at gå ind på https://www.wolframalpha.com/ og skriv ovenstående fra #11.

Svar #14
13. maj kl. 15:56 af ca10

Tak for svaret

Det ser jeg nærmere på

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #15
13. maj kl. 16:13 af Eksperimentalfysikeren

Det kan lette arbejdet, hvis man benytte hyperbolske funktioner:

cosh(x) = (e^x+e^-x)/2

sinh(x) = (e^x-e^-x)/2

cosh'(x) = sinh(x)

sinh'(x) = cosh(x)

cosh²(x)-sinh²(x) =1

Start med at forlænge brøken med e^-0,17t/2.

Heraf fås brøken til sinh(0,17t/2)/cosh(0,17t/2)

Når accelerationen skal findes, benyttes differentiation af en brøk og ligninerne ovenfor; husk at differentiere 0,17t/2.

Ved integrationen benyttes, at sinh(x) = cosh'(x) og at

$\int \frac{f'(x)}{f(x)})dx = ln(f(x))$

Svar #16
13. maj kl. 16:43 af ca10

Tak for svaret

Svar #17
18. maj kl. 14:23 af ca10

b. Bestem accelerationen efter 10 sekunders forløb

--------------------------------------------------------------------

Mit forsøg.

v ´ ( t ) = a ( t )

Jeg bruger brøkreglen:

f ( x )

Hvis f og g er differentiable og g ( x ) ≠ 0, er h ( x ) = ----------

g ( x )

differentiabel:

f ´ ( x ) • g ( x ) - f ( x ) • g ´ ( x )

h ´ ( x ) = --------------------------------------------

( g ( x ) )2

Således:

( e^{0,17 • 10s}- 1 )´ • ( e^{0,17 • 10s}+1 ) - ( e^{0,17 • 10s} - 1 ) • ( e^{0,17 • 10s} +1 )´

a ( 10 ) = 84 ( m / s ) • ------------------------------------------------------------------------------------------------

( e^{0,17 • 10s} + 1 )²

( 0,17• e^{0,17 • 10s} - 0 ) • ( e^{0,17 • 10s} + 1 ) - ( e^{0,17 • 10s} - 1 ) • (0,17 • e^{0,17 • 10s} - 0 )

= 84 ( m / s ) • -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( e^{0,17 • 10s} + 1 )²

0,17• e^{0,17 • 10s}• e^{0,17 • 10s} + 0,17• e^{0,17 • 10s} - e^0,17 •10s • e^0,17 10s+0,17e^0,17• 10s

= 84 (m/s) • ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( e^{0,17 • 10s} + 1 )²

0,17• e^{0,17 • 10s} + 0,17• e^{0,17 • 10s}

= 84 (m/s) • -----------------------------------------------------

( e^{0,17 • 10s}+ 1 )²

e^{0,17 • 10s}

= 84 (m/s) • 2 • 0,17 • -----------------------------------

( e^{0,17 • 10s} + 1 )²

28,56 (m/s) • 5,47s

= -----------------------------------

41,91 s²

156,3399 (m/s) • s

= -----------------------------

41,9119 s²

= 3,73 m/s²

Det passer med facitlisten side 209. Jeg er godt klar over at min udregning måske ser omstændelig ud, men jeg foretrækker at man kan se mellemregningerne.

Mit spørgsmål er, er min udregning foretaget korrekt blandt andet og vedrørende min udregning af enhederne m og s?

Jeg har prøvet Wolfram Alpha som bliver foreslået i # Svar 15 af M2023, og jeg kan ikke få det til at fungere.

Jeg forstår ikke svar #9 af Eksperimentalfysikeren, det er muligt at det kan lette arbejdet hvis man benytter hyperbolske funktioner, men jeg ved ikke hvordan jeg skal bærer mig ad.

c) Hvor stor er den tilbagelagte afstand efter 10 sekunders forløb?

I Svar #2 af ringstedlC står der

s ( t ) = 1 /2 a t² +v₀ t + s₀ , a = konstant

s ( 10) = ∫ v ( t ) dt = 321 m

Dette beregens med CAS

10 e^{0,17 • t} - 1

s ( t ) = ∫ 84 ( m / s ) • -------------------- dt =

0 e^{0,17 • t} + 1

Mit spørgsmål er, er det muligt at bestemme s ( t ) altså at integrere v ( t ) uden at anvende CAS og hvordan gør man så det?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #18
18. maj kl. 18:03 af ringstedLC

Stor respekt for din lyst til lave opgaverne "i hånden", men beregningen overgår langt, såvidt jeg kan se, hvad der læres på noget gymnasielt niveau.

Svar #19
18. maj kl. 19:52 af ca10

Til Svar #18 ringstedLC

Tak for svaret.

Hvis jeg forstår dit svar ret så var min beregning af :

v ´ ( t ) = a ( t )

Jeg bruger brøkreglen:

f ( x )

Hvis f og g er differentiable og g ( x ) ≠ 0, er h ( x ) = ----------

g ( x )

differentiabel:

f ´ ( x ) • g ( x ) - f ( x ) • g ´ ( x )

h ´ ( x ) = --------------------------------------------

( g ( x ) )²

til at bestemme accelerationen efter 10 sekunders forløb overgår det ikke hvad der læres på gymnasielt eller HF niveau -Tilvalg eller niveau B2.

Jeg er godt klar over da jeg gik min beregning igennem, at De havde ret i Deres svar #1 b) Du differentierer jo slet ikke f og g i acc.-formlen. Det håber jeg nu at det har jeg gjort rigtigt denne gang.

Men mit spørgsmål er, hvordan man uden brug af CAS, men istedet for i hånden bestemmer hvor stor den tilbagelagte afstand er efter 10 sekunders forløb?

For mit forsøg på at bestemme hvor stor den tilbagelagte afstand er efter 10 sekunders forløb var forkert.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #20
18. maj kl. 20:02 af ringstedLC

#18 gælder for c)

Forrige 1 2 Næste

Der er 35 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.