Stamfunktioner

Bestem først en stamfunktion til funktionen f(x) . Denne vil være et 2.-gradspolynomium, og den vil indeholde en arbitrær integrationskonstant k .

For at bestemme den stamfunktion F , der har linien y = 4 som tangent, bemærkes det, at linien y = 4 er vandret, og at det eneste sted, hvor grafen for et 2.-gradspolynomium har vandret tangent, er i toppunktet. Konstanten k afstemmes derfor, således at grafen for 2.-gradspolynomiet har toppunktsværdi 4 (funktionsværdien i toppunktet skal være 4).

For at bestemme den stamfunktion G, der har linien med ligningen y = 3x + 2 som tangent, skal vi finde den værdi x₀ , hvor stamfunktionen har en tangent med hældningen 3, dvs. vi skal løse ligningen f(x₀) = 3 . Punktet (x₀ , G(x₀)) skal ligge både på grafen for stamfunktionen og på tangenten, så der skal gælde G(x₀) = 3x₀ + 2 , hvilket fastlægger integrationskonstanten k for stamfunktionen G .

Er F unik? eller der 2 muligheder for hvordan F ser ud begge med vandret tangent i y = 4?

        F(x) = -(3/2)x² + 6x + k

        F '(x_o) = f(x_o) = 6 - 3x_o = 0                   (y = 4  eller   y = 0x + 4)

                                   x_o = 2

                                   y_o= 4

grafen for F(x) har røringspunkt i (2,4)
dvs
        F(2) = 4 = -(3/2)·2² + 6·2 + k

                   4 = -6 + 12 + k

                   4 = 6 + k

                   k = -2
hvoraf
                   F(x) = -(3/2)x² + 6x - 2

        G '(x) = f(x) = 6 - 3x

        G '(x_o) = 6 - 3x_o = 3             (y = 3x + 2)    ......._osv.......