Cirkler

En linie fra en mellemstor cirkels centrum til en lille cirkels centrum vil gå gennem cirklernes røringspunkt , og forbindes de to små og de to mellemstore cirklers centre fremkommer et kvadrat med siden r + R . Det ses også, at diagonalen i dette kvadrat er lig med 2R (hvor r er radius i de mindste cirkler, og R = 4/2 = 2 er radius i de to mellemstore cirkler). Der gælder derfor, at

2R = (r+R)·√2, hvorfor

r = ((√2) -1)·R = 2·((√2) -1)

Mange tak Andersen11. 
Hvor kommer (√2) ind i billedet? 

Den ser f*** svært ud! Svært at tænke :( Hvor har du de opgaver fra?

#2

Det burde være velkendt, at længden af diagonalen i et kvadrat er √2 gange længden af kvadratets side.

Okay, men er du sikker på, at det er et kvadrat. Jeg vil nu sige en rhombe, fordi det, der er karakteristisk ved kvadrater er, at alle hjørner er rette vinkler. Jeg kan se, at det ikke er tilfældet. 

radius på de mellemstore cirkler må være 1. 

Hvis du så forstiller dig linjer fra de mellem store til de små cirklers centrum, danner du to ens ligebenede trekanter, afskilt af den vandrette diameter i den store cirkel.

Du kender alle tre sider i de to ligebenede trekanter, da de to ben er r+R og det sidste ben er 4-1-1 = 2.

Arealet af en rhombe findes vha.

A = ½ * d1 * d2  , hvor d1 og d2 er diagonalerne i rhomben, så du kender den ene diagonal, nemlig 2. Men du kan også finde arealet ved at gange arealet af trekanten med 2.

Arealet af en trekant hvor du kender alle 3 sider, kan du enten bruge herons formel eller bruge nogle af de trigonometriske funktioner. Men i hvert falde får du en ligning hvor du kan isolere den anden diagonal d2. 

Hvis du finder at d1 = d2, så kan du benytte #1 - for så er det en kvadrat. Hvis ikke, så kan du sige :

r = 2-½d2

Men ved at benytte Herons formel,   så mangler jeg jo s og så ved jeg jo kun, at de 2 ben er lig 2+r. Har jeg ikke ret i det? 

#5

Jeg var nok lidt for hurtig i mit svar i #1. Det er klart, at radius R i den mellemstore cirkel er R = 2 . Liniestykket fra en mellemstor cirkels centrum til en lille cirkels centrum er hypotenuse i en retvinklet trekant , hvis ene katete er den mellemstore radius R, og hvis anden katete er den helt store radius 4 minus den lille cirkels radius r . Da liniestykket mellem den lille og mellemstore cirkels centre er r+R,  har vi så

(r+R)² = R² + (4-r)² , dvs

(r+2)² = 2² + (4-r)² , eller

r² + 4r + 4 = 4 + 16 -8r +r² , eller

12r = 16

r = 4/3