Diffrentialligninger

faktoriser x på højresiden

dy/dx = (-2y+1)x 

benyt seperation af de variable.

∫ 1/(-2y+1) dy = ∫ x dx + c           for y ≠ 0,5

                                   dy/dx = -2xy + x = (1-2y)x

                                   (1/(1-2y)) dy/dx = x                      y ≠¹/₂

                                   ∫(1/(1-2y)) dy = ∫xdx

    ∫(1/(1-2y)) dy
            
       sæt
               1-2y = u   og dermed   dy = -(1/2)du

    ∫(1/(1-2y)) dy = -(1/2)·∫(1/u) du = -(1/2)·ln|u| = -(1/2)·ln|1-2y|

hvoraf
                                  -(1/2)·ln|1-2y| = (1/2)x² - (1/2)k

                                  ln|1-2y| = -x² + k

                                  |1-2y| = C₁·e^{-x^2}

                                      y = (1/2) + C·e^{-x^2}     gennem P(1,2)

                                      2 = (1/2) + C·e^{-1^2}

                                      (3/2) = C·e^-1

                                      C = (3/2)e
hvoraf
                                      y = (1/2) + (3/2)e·e^{-x^2}  

                                      y = (1/2) + (3/2)·e^{1-x^2}

                                      y = (1/2)·(1 + 3e^{1-x^2})        y ≠¹/₂

 

Hold da op, det var vidst godt jeg spurgte om hjælp. Vil lige sidde og kigge lidt på det. Mange tak for hjælpen.

Hej Mathon, jeg forstår ikke hvorfor dy=-(1/2)du, når du sætter du=1-2y.

Substitutionsmetode.

∫(1/(1-2y)) dy = ∫x dx

       lad u = 1 - 2y

∫(1/u) dy = ∫x dx

       du/dy = -2 ⇔ dy = -(1/2)du

∫(1/u) -(1/2) du = ∫x dx

-(1/2)∫(1/u)du = ∫x dx

osv