Hej alle..

Jeg sidder med en opgave, og har forsøgt at kigge i mine notater og bøger, men jeg aner virkelig ikke, hvordan denne opgave skal løses. Derfor håber jeg at der er nogle af jer, som vil hjælpe mig. På forhånd tak!

En kugle i et koordinatsystem i rummet har centrum i C(0,0,5) og punktet P(2,-1,3) ligger på kuglen.

a) Bestem en ligning for kuglen, og bestem en ligning for kuglens tangentplan i P.

Du kender centrummet, så ligning må vøre sådan noget som

(x-0)² + (y-0)² + (z-5)² = r²  eller

x² + y² +(z-5)² = r². På kuglen ligger P(2,-1,3) så dets koordinater skal passe i formlen:

2² + (-1)²+(3-5)² = r² eller 4+1+5 =10 = r².

Ligning for kuglen er : x²+y²+(z-5)²=10.

Ligningen for et tangentplan i (x₀,y₀,z₀) er x₀x + y₀y + (z₀-5)(z-5)=10 (den såkaldte "halv-substition")

her 2x -1y + (3-5)(z-5) = 10 ⇔ 2x-y-2z = 0

                  radius
                                              r = |CP| = ((2-0)²+(-1-0)²+(3-5)²)^0,5 = (4+1+4)^0,5 = 3

kugleligning
                                              x² + y² + (z-5)² = 3²

tangentplanligning
i P(2,-1,3)
                                             2·x + (-1)·y + (3-5)(z-5) - 9 = 0

                                             2·x - y - 2z + 1 = 0

tusind tak til jer begge..

OhFortuna: tror du har regnet kuglens ligning forkert, jeg får i hvert fald ikke det samme...
jeg fandet en video, hvor der er en der gennemgår en tilsvarende opgave, og den har jeg fulgt - jeg har fået det samme som mathon.

jeg vil nu kigge på tangentplanlining!

mathon jeg har svært ved at se hvordan du udregner tangentplanens ligning i P kan du forklare mig det???

Du har ret, undskyld, jeg skrev 5 i.s.f. 4

Jeg klebajer

Du kender centrummet, så ligning må vøre sådan noget som



(x-0)² + (y-0)² + (z-5)² = r²  eller

x2 + y² +(z-5)² = r². På kuglen ligger P(2,-1,3) så dets koordinater skal passe i formlen:

22 + (-1)²+(3-5)² = r² eller 4+1+4 =9 = r².

Ligning for kuglen er : x2+y2+(z-5)2=9.

Ligningen for et tangentplan i (x0,y0,z0) er x0x + y0y + (z0-5)(z-5)=9 (den såkaldte "halv-substition")

her 2x -1y + (3-5)(z-5) =  9 ⇔  2x-y-2z = 1

Og nu er Mathon og jeg enige igen.

det er i orden OhFortune...

Jeg forstår slet ikke det der halv-subsition :S

vil du forklare mig hvad det er I gør i detajler? :S

Kuglens ligning er: (x-a)² + (x-b)² + (x-c)² = r² eller lidt mere udskrvet:

(x-a)(x-a) + (x-b)(x-b) + (x-c)(x-c) = r^{2 ,} er nu  (x₀, y₀, z₀) et punkt på kuglen, så er ligning af tangentplanen:

(x₀-a)(x-a) + (y₀-b)(y-b) + (z₀-c)(z-c) = r²  Hvis du kigger nøje seer du at jeg har udskiftetet hälften

af die variabelen (x,y,z) med (x₀,y₀,z₀), derfor min kendetegnelsen "halv-substitution").

Jeg ved bare ikke om det undervises på de dankse gymnasier :-? men Mathon gjorde det også.

(jeg kan selvfølgeligt levere et bevis, men det kræver lidt mere arbejde).

se for beviset http://www.hans-gerda.dk/math/index.htm under menu-item Den halve substitution.

se