Håbe virkelig, jeg kan få hjælp.

Der er et vinglas, der er fyldt, så vinen har en højde på 10 cm. Desuden er vinens overflade cirkulær med en diameter på 7 cm.

Hvor meget vin er der i glasset, når glasset er fremkommet ved at dreje grafen for funktionen f = ax² om glasets symmetriakse (stilken)?

På forhånd tak :)

Bestem først a ud fra oplysningen, at f(7/2) = 10 . Beregn dernæst rumfanget af glasset som

V_x = π·₀∫¹⁰ (f^-1(x))² dx

Okay.. Jeg finder: a = 10/ 3,5 <=> a = 0,8163

V_x = π·₀∫¹⁰ (f^-1(x))² dx

Hvilke tal skal jeg indsætte i ovenstående formel? Jeg forstår det ikke helt.

#2

Du bør nok regne med den eksakte værdi for a = 40/49 .

Det forekom mig mere naturligt at se på den inverse funktion f^-1(x) og så dreje den omkring x-aksen:

f^-1(x) = a^-1/2 · √x

Det bliver jo en dejligt nem funktion at integrere, når man kvadrerer den.

Da glasset skal drejes om y-aksen må den korrekte formel vel være

V = 2 * π * _-3,5∫^3,5 x * f(x) dx

;-)

#4

Glasset skal drejes omkring symmetriaksen. Jeg foreslog at dreje den inverse funktion omkring x-aksen, da det fører til en simplere udregning, og hvor man ikke skal trække det beregnede rumfang fra et cylinderrumfang bagefter.

#4

Hvad er x og f(x) så? Nu er jeg lidt forvirret.

# 1

Okay -

Med mikroskop i hånden ser jeg at du har skrevet et minus foran 1, der er blevet slugt af f'et -

Jeg laver konsekvent et mellemrum i f'(x) eller f^-1, så det er tydeligt, at der står f '(x) eller f ^-1    ;-)

#4

y-integralet skal gå fra 0 til 3,5 .

#7 Jeg beklager det typografiske sjuskeri fra min side.

Glasset skal drejes omkring symmetriaksen. Jeg foreslog at dreje den inverse funktion omkring x-aksen, da det fører til en simplere udregning, og hvor man ikke skal trække det beregnede rumfang fra et cylinderrumfang bagefter.

V_x = π·₀∫¹⁰ (f ^-1(x))² dx = π·₀∫¹⁰ (x/a) dx = 50π/a = 50π·49/40 = 245π/4

V_y = π·(7/2)²·10 - 2π·₀∫^3,5 x · f(x) dx

     = π·(7/2)²·10 - 2π·₀∫^3,5 ax³ dx

     = π·(7/2)²·10 - 2π·a·(7/2)⁴/4

     = π·(7/2)²·(10 - 2·(40/49)·49/16)

     = π·(7/2)²·(10 - 5)

     = 245π/4

Tusind tak :)
 

Jeg har løst opgaven for 3 forskellige glas. Den anden del af opgaven lyder på, at jeg i hvert tilfælde skal bestemme vinens højde, når netop halvdelen er drukket.

Jeg har uploadet en fil, hvor man kan se, hvordan jeg har løst opaven.

Jeg ved ikke, om jeg har løst opgave 2 korrekt.

På forhånd tak :)

#9

Logisk set er dit svar til a) C) forkert, da du finder rumfanget "under" glasset. Tilfældigvis er dette rumfang netop det halve af cylinderens rumfang, hvorfor dit resultat talmæssigt er korrekt; men fremgangsmåden er ikke korrekt. Den korrekte fremgangsmåde er givet i #8.

I opg b) er din løsning til A) forkert , B) er korrekt, og C) er forkert. Dit svar i A) ser jo heller ikke intuitivt ud til at være rigtigt.

I A) finder man (h/h₀) = (1/2)^1/3 , mens man i C) finder (h/h₀) = (1/2)^1/2 , hvor h₀ er den oprindelige højde, og h er højden for det halve volumen.

Okay..

Jeg tænkte på, om man kunne løse a ved at sige:

64,14 = 2 * π * ₀∫^3,5 x*f(x) dx

hvor jeg finder f(x) ved at sige: f(x) = ax + b... Hermed får jeg f(x) = 2,86x + 0

Dvs.

64,14 = 2 * π * ₀∫^3,5 x*(2,86x + 0) dx

Kan jeg opstille det på ovenstående måde?

#11

Det kan man da muligvis nok, hvis man gør det rigtigt. Det gennemgående problem her er, at integralet ikke er rumfanget af indholdet i det kegleformede glas, men det til keglen komplementære indhold i cylinderen.

Benyt i stedet, at man ved, at for enhver væskestand h i keglen er den tilhørende radius r = ((7/2)/10)·h . Rumfanget af indholdet i keglen for en væskestand h er da

V = (π/3)·h·r² = (π/3)·h·(7/20)²·h² = (π/3)·(7/20)²·h³

Hvis h₀ er højden 10 cm, finder man højden h for det halve rumfang ved

(π/3)·(7/20)²·h³ = (1/2)·(π/3)·(7/20)²·h₀³ og dermed

(h/h₀)³ = (1/2) , så

h = (1/2)^1/3 · h₀ ≈ 0,7937 · 10cm = 7,937cm

Forslag til behandling af det kegleformede glas (se vedhæftede):

-----------------------

Glassets "sidelinie" skal gå gennem (0,0) og (10,7/2) - det giver funktionen f(x) = (3,5/10) * x = 0,35x

Rumfanget er da π * ₀∫¹⁰ (0,35x)^2 dx = 128,282

-----------------------

128,282/2 = π * ₀∫^h (0,35x)^2 dx = 0,128282 * h^3

h = ³√(500) = 7.937

;-)