Figuren viser en pyramide med kvadratisk grundflade. Indlæg et koordinatsystem og bestem afstanden mellem puktet p og linjen l

Hvordan gør jeg???

Vælg P til at være koordinatsystemets begyndelsespunkt, og vælg akserne i xy-planen parallelle med siderne i pyramidens grundflade.

De fire punkter i pyramidens grundflade er da lette at bestemme. Pyramidens toppunkt er også ligetil at bestemme. Bestem nu en parameterfremstilling for linien l , og beregn afstanden fra P til linien som den mindste afstand fra P til et punkt på linien.

Mener du at jeg skal starte med at finde vektorer? Eller forstår ikke helt

Den kan også løses 2-dimensionelt i et alm koordinatsystem, hvis man vælger begyndelsespunkt midt i pyramidens bund. y-aksen er højden, og x-aksen er den stiplede diagonal mod L.

#2

Start med at bestemme koordinaterne for pyramidens endepunkter. Bestem så en parameterfremstilling for linien gennem pyramidens toppunkt og det fjerne punkt i grundfladen. Bestem så til sidst afstanden fra P til et punkt på linien som en funktion af parameteren i parameterframstillinge, og find så minimum for denne funktion.

Den kan også løses 2-dimensionelt i et alm koordinatsystem, hvis man vælger begyndelsespunkt midt i pyramidens bund. y-aksen er højden, og x-aksen er den stiplede diagonal mod L.

Så finder man vha. pythagoras at punktet P = ( - √(128)/2 , 0)   og   L = (x , 7-√(128)/14).

Herefter blot benytte afstandsformlen eller pythagoras.

Afstand(x) = √( (√(128)+x)² + (7-√(128)/14)²)

Afstand '(x)  = 0  => x = -8*√2   => 

Kortest afstand =  7 -4/7 * √2 = 6.2

Hvis vi kalder pyramidens toppunkt for T, det fjerne punkt langs diagonalen i pyramidens grundflade for L og midtpunktet i pyramidens grundflade for C, er TCL en retvinklet trekant med kateter |TC| = 7 , |CL| = 4·√2 og hypotenuse

|TL| = √(7² + (4√2)²) = √(49 +32) = 9

Vi finder for vinkel CLT, at

sin(v(CLT)) = 7/9

og den søgte afstand fra P til linien l er da højden h i trekant PTL og dermed

h = 8·(√2)·sin(v(CLT)) = (7/9)·8·√2

#6

Hvis man benytter din fremgangsmåde, skal man bestemme afstanden fra punktet P(-4√2 , 0) til linien med ligningen

y = -(7/(4√2))·x + 7 .

Denne afstand er

h = |-7-7| / √(1 + (7/(4√2))²) = 14 / √(1 + (49/32)) = 14 / √(81/32) = 14·4√2 / 9 ≈ 8,7996 ,

helt i overensstemmelse med resultatet i #7.

Ved ikke hvordan jeg kan finde koordinaterne ? (7,8,7)

#9

De fire punkter i pyramidens kvadratiske grundflade har koordinaterne

(0 , 0 , 0)

(8 , 0 , 0)

(0 , 8 , 0)

(8 , 8 , 0)

mens pyramidens toppunkt har koordinaterne

(4 , 4 , 7)

men hvilke formel skal jeg bruge ved at bestemme parameterfremstilling

#11

Man skal bestemme parameterfremstillingen gennem punktet L(8,8,0) og toppunktet T(4,4,7) og så bestemme afstanden fra punktet P(0,0,0) til linien.

For parameterfremstillingen kan man benytte, at vektoren LT er en retningsvektor for linien l, og at linien går gennem punktet L .

Til #12

Her skal man bestemme afstanden fra et punkt P til linien bestemt ved et punkt L og en retningsvektor LT . Dette gøres ved at bestemme et punkt Q på linien, så at vektoren PQ er vinkelret på linien; den søgte afstand er da lig med længden |PQ| . Vi har nu

OQ = OL + t·LT ,

hvor O er koordinatsystemets begyndelsespunkt, og parameterværdien t bestemmes af lignignen

PQ • LT = 0 , dvs

(PO + OQ) • LT = PO • LT + OL • LT + t·|LT|² = 0 , hvoraf

t = - PL•LT / |LT|²

Her er LT = (-4,-4,7) og PL = (8,8,0) , så

t = 64 / 81 .

Punktet Q har derfor koordinaterne bestemt ved

OQ = (8 , 8, 0) + (64/81)·(-4,-4,7) ,

og den søgte afstand er da

|PQ| = |OQ| = √( 8 - 256/81)² + (8 - 256/81)² + (7·64/81)²) = (√(2·(8·81-256)² + 49·64²)) / 81

                     = (√(2·(648-256)² + 49·64²)) / 81

                     = (√(2·(8·49)² + 49·64²)) / 81

                     = (√(2·64·49² + 49·64²)) / 81

                     = 8·7·√(2·49 + 64) / 81

                     = 8·7·(√162) / 81

                     = 8·7·(√2) /9

er det resultatet:  8·7·(√2) /9

#14

Ja. Det er regnet igennem efter tre forskellige metoder i #7, #8 og #13, alle med det samme resultat.