Integralregning - én opgave

Som der står, skal man vise, at for ethvert tal c har ligningen f(x) = c netop een løsning.

Vis dette ved at vise, at funktionen f(x) er monotont voksende og kan antage alle reelle værdier.

Jeg kan ikke beskrive det bedre end din opgavebeskrivelse. Hvis du differentierer funktionen  får du f'(x) = 1+cos(x) Da f'(x) ≥ 0 og kun 0 i isolerede punkter er funktionen monoton voksende. Desuden gælder at f(x) →∞ for x-> ∞ og f(x) -> -∞ for x -> -∞. Funktioen er desuden kontinuert så funktionen vil antage ethver reelt tal netop en gang. det betyder at der en og kun en løsning til ligningen. Prøv evt. at lave en graf for funktionen

Tak begge to. Har forstået det nu! 

Se vedlagte grafer

Du bliver givet en funktion f(x) = x + sin(x) og får at vide du skal betragte ligningen f(x) = c, dvs.

c = x + sin(x)

Her antager jeg at du skal betragte denne ligning, hvor konstanten c kan antage enhver reel værdi.

Lad os nu sige, at du tegner en normal graf for funktionen i en xy-diagram, med x-værdier på x-aksen og f(x)=y på y aksen.

1) Der skal eksistere en løsning

For at denne ligning har en løsning for alle reelle værdier af c skal du kunne vælge et vilkårligt punkt på din y-akse og gennem dette punkt tegner du en linje parallel med x-aksen, dvs. en vandret linje. Eftersom der skal være en løsning må denne vandrette linje skære grafen for funktionen.

Der er man funktioner der ikke har denne egenskab f.eks. andengradligninger, der enten har et maksimum eller et minimum. Hvis vi ser på et andengradspolynomie der har et maksimum, vil enhver y værdi over dette maksimum netop ikke have nogen løsning og linjen gennem dette y vil ikke skære grafen.

Der kunne også være tale om en funktion som g(x) = 1/x der aldrig kan antage værdien 0 og det betyder at x-aksen, der er linjen gennem y=0 aldrig skærer grafen...

Det andet krav du skal vise gælder er, at der kun er EN løsning

2) Der må kun eksistere én løsning

Tænk igen på andengradpolynomie med maksimum. Hvis du vælger en y-værdi som dit c, der er lavere end dette maksimum har du TO løsninger, idet linjen gennem y skærer grafen to gange.

Dette forklarer forhåbentligt hvad du skal vise. Spørgsmålet er så hvordan man viser det, hvilket burde fremgå klart af #1 og #2.

Læg her mærke til at for eksemplet med andengradspolynomie, der antager maksimum opstår der netop to løsninger fordi funktionen først er stigende, opnår sit maksimum og derefter aftager igen. Hvis funktionen derimod er monotont voksende ved du at hvis du finder en x-værdi x0 hvor det gælder at f(x0) = c kan dette ikke gælde for nogle andre x-værdier, for for alle x værdier der er større end x0 må f(x) > f(x0) for funtionen er jo voksende og for alle x værdier mindre end x0 må funktions værdien være mindre....