Opgaven lyder:

Kulgen k har ligningen: x^2-4x+y^2+2y+z^2-2z=36

Og linjen l er bestemt ved par.frem.: 

(x)    (-8)     (-5)
(y) = (2) + t*(7)
(z)    (-3)     (-3)

Undersøg om l er tangent til K.

Jeg har så fundet kuglens centrum (C=(2,-1,1)) ved at "gå baglæns" med dens ligning.

Har omskrevet kuglens ligning til: (x-2)^2-4(y+1)^2-1(z-1)^2-1=36

Jeg ved at jeg skal finde ud af om afstanden fra linjen l og kuglens centrum C er lig med kuglens radius, da linjen da vil være tangent til K.

Og jeg ved at der er en formel - men af dem jeg har fundet og forsøgt mig med, har jeg bare ikke kunne finde ud af at bruge, påtrods af at jeg har haft gjort det før.
 

Derudover så jeg en opgavebesvarelse til denne opgave, hvor radius var blevet ændret til 42, da konstanterne blev plusset med på begge sider af lighedstegnet. SKal dette gøres og hvorfor? Jeg kan ikke se hvorfor man kan/må ændre radius, da det jo så ændre hele kuglen??

Vigtigts af alt er dog svaret på hvordan jeg finder afstanden mellem linjen l og kulgens centrum C.

Jeg håber at der er hjælp at hente, da jeg er kørt noget så træt i denne opgave.

Indsætudtrykkene for henholdvis x, y og z fra linjens parameterfremstilling i kuglens ligning
og løs med hensyn til parameteren t, - indsæt derefter den fundne værdi (værdier) for t
i linjens parameterfremstilling, hvorved skæringspunkt(er) for linjen og kuglen bestemmes...

ingen - linjen skærer IKKE kuglen

én - linjen tangerer kuglen

to -linjen skærer gennem kuglen

Når du kvadratkompletterer kuglens ligning, skal du huske at lægge de led til på højre side, der bliver lagt til på venstre side ved kompletteringen. Det er ikke helt korrekt, hvad du har gjort, og der er en mystisk faktor 4 på leddet med y.

Ligningen er

x² -4x + y² +2y +z² -2z = 36 ,

der kompletteres til

(x -2)² + (y +1)² + (z -1)² = 36 +2² + 1² + 1² = 42

Der er ikke tale om at ændre kuglens radius, men om at bevare ligningen. Beregn nu afstanden fra kuglens centrum til linien med parameterfremstillingen

(x , y , z) = (-8 , 2 , -3) + t·(-5 , 7 , -3)

Kalder man punktet på linien l for P(-8 , 2 , -3) og liniens retningsvektor s = (-5 , 7 , -3) , kan man bestemme projektionen af vektoren CP på retningsvektoren s :

CP_s = (CP•s/|s|) s/|s|

Afstanden fra punktet C til linien l er da

d(C,l) = |CP - CP_s|

Før det første er 36 ikke kuglens radius... radius kan først aflæses når ligningen er bragt på formen

√(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r

For foretage denne omskrivning benytter du at du må lægge et tal til på hver side af ligningen:

x^2 + 4x = -6

læg 4 til på hver side

x^2 +4x +4 = -2

(x+2)^2 = -2

Der er flere fejl i din kugles ligning. Den kan omskrives til

x²-4x+4  +y² +2y +1 +z²-2z +1 = 36+4+1+1  jeg addere 4 1 og 1 på venstre side, så skal jeg også gøre det på højre side

Leddene på venstre side og kvadrater på summen af en 2 leddet størrelse så det kan omskrives til

(x-2)² +(y+1)² + (z+1)².

Der er flere muligheder for at løse opgaven. Det nemmeste for dig vil formentlig være at sætte paramerfremstillingen ind i kuglens ligning og vise at den fremkomne ligning i t har netop en løsning.

Tak! 
 

Dejligt med så hurtige og præcise svar.