Monotoniforhold uden hjælpemidler

du kan differentiere f og sætte lig 0:

f'(x) = 0

det er en andengradsligning med 2 løsninger (r1 og r2) som fortæller hvor f er vandret. Dvs. der er 3 intervaller:

]-∞ ; r1] hvor f enten er stigende eller faldende

[r1 ; r2] hvor f enten er stigende eller faldende

[r2 ; ∞[ hvor f enten er stigende eller faldende

og så de 2 punkter r1 og r2 hvor f er konstant

Start med at differentiere f:

f'(x) = 3x^2 -8x + 4

Sæt f'(x) = 0

x=2/3 eller x=2

Du skal du undersøge om f'(x) 's fortegn i intervallet ]- (uendelig); 2/3 [ og ] 2/3 ; 2 [ og ]2 ; + (uendelig)[ hvilket du gør ved at finde f'(x) for et tal i hvert af intervallerne.

for f'(x) > 0 => f(x) er voksende i dette interval

for f'(x) < 0 => er aftagende i dette interval

Og så læg mærke til om f(2/3) og f(2) er maksimum eller minimum :)

Tak for de hurtige svar!

Hvordan får man  x=2/3 eller x=2?

Monotoniforhold for en funktion beskriver hvor en given funktion har maksimum og minimum (med ét ord kaldet ekstrema).

I et 3. gradspolynomium som den givne funktion er, har du to ekstrema.

Ved ekstrema er tangenthældningen til grafen for f vandret, og da er differentialkvotienten 0.

Når du ved hvor x har ekstrema, skal du finde ud af hvilken der er maskimum og minimum. Det finder du ved at finde tangenthældningen imellem de to ekstrema. Hvis du tegner det bliver det meget tydeligt.

x=2/3 og x=2 er de to løsninger til:

f'(x) = 0

Altså hvis du differentierer f(x):

f'(x) = 3x^2 -8x +4

og løser den andengradsligning

#4 Hvordan finder man tangenthældningen mellem de to ektstrema så?

        f '(x) = 3x² + (-8)x + 4 = 0

                    d = (-8)² - 4·3·4 = 64 - 48 = 16
                    √(d) = √(16) = 4

                       x = (-(-8) ± 4) / (2·3)

                       x = (4 ± 2) / 3

#6

Du kigger på differentialkvotienten imellem de to ekstrema.

Tag en vilkårlig x-værdi mellem de to ekstrema og udregn differentialkvotienten. Er den positiv er dit første ekstrema et minimum, og det omvendte er selvfølgelige gældende hvis den er negativ. Hvis du tegner det er det nemt at indse. Bare hav in mente at differentialkvotienten er lig tangenthældningen i punktet.

    
                            brug M-M-reglen for et andengradspolynomium med d>0

                M-M-reglen: et andengradspolynomium med to nulpunkter
                                    har Modsat fortegn af koefficienten til x² Mellem nulpunkterne