Se vedhæftet fil.

Det er opgave b og c, jeg gerne vil have hjælp til.

Opgave b) Jeg benytter en formel, der står i min bog (har dog ikke løst sådan en opg. før), hvor det lyder:

hvor der står at, P₀ er et tilfældigt punkt på linjen, så findes afstanden fra P til l ved

dit(P,l) = |P₀P×r| / |r|

Jeg kender kun ét punkt, nemlig A, som P og kender ikke P₀. r må være retningsvektor af parameterfremstillingen for linje m, dvs [-8.5 ; -18 ; 38]. Hvad gør jeg mere?

Opgave c) Jeg har fået det til at regne ud, hvor det blev til 143.25º, hvilket er forkert. Det skulle være mindre end 90, og kan ikke se hvordan jeg skal få det rettet. Hvordan jeg gjorde det, var at benytte formlen af vinklen mellem to retningsvektorer i rummet.

Det er opgaven med aben, du har vedhæftet her.

Jeg har vedhæftet filen igen.

#2

b) For linien m kender man et punkt P₀ og en retningsvektor r , og man skal bestemme afstanden fra punktet A til linien m. Man bestemmer først projektionen af P₀A på vektoren r :

P₀A_r = (P₀A•r/|r|) r/|r| ,

og længden af denne vektor er så

|P₀A_r| = |P₀A•r| / |r|

Afstanden fra P₀ til A er |P₀A| . Det følger så af Pythagoras, at afstanden fra A til linien er bestemt ved

(dist(A,m))² = |P₀A|² - |P₀A_r|² , eller

dist(A,m) = [ |P₀A|² - |P₀A•r|² / |r|² ]^1/2

I dit udtryk indgår der et vektorprodukt med × , hvilket ikke er korrekt.

#3

Kan man bestemme et punkt P₀ fra parameterfremstillingen af linje m, uanset hvad? Altså, hvis jeg gætter på, at t = 1, så får jeg, at m₁(-41.5 ; 10 ; -2) = P₀ ?

#3

Det med formel, som du mener, at det ikke er korrekt - kan du se på min vedhæftet fil:

#5

Jo, din formel i #0 er korrekt.

Din formel giver

dist(A,m) = |P₀A| · |sin(r , P₀A)| ,

mens min formel giver

dist(A,m) = |P₀A| · (1 - cos(r , P₀A)²)^1/2  hvilket jo er lig med dit udtryk.

Du kan så overveje med dig selv, hvad du finder lettest at bruge. Jeg finder det lettere at beregne et skalarprodukt end et vektorprodukt.

I opgaven er P₀ = (-33 ; 28 ; -40) og r = [-8,5 ; -18 ; 38] og A = (-41 ; 10 ; -80) , så

P₀A = [ -8 ; -18 ; -40 ] , og dermed

|P₀A|² = 1988, |r|² = 1840,25 , og P₀A • r = -1128, og dermed

dist(A,m) = √(1988 - (-1128)²/1840,25) = 36,008

#6

Undskyld jeg spørger... Jeg skal lige forstå, hvorfor du har skrevet komma her:

|sin(r , P₀A)|       og    (1 - cos(r , P₀A)²)^1/2   

         ^                                         ^

#7

Her skal cos(a,b) forstås som cosinus til vinkelen mellem de to vektorer a og b . Tilsvarende for sinus til vinklen; notationen virker, da vi kun er interesseret i den numeriske værdi af sinus.

cos(a,b) = (a•b) / (|a||b|)

#8

Nå. Den måde man skriver på for at se det kortere ud, havde jeg ikke lært om før! Mange tak for din tid. Kan du også prøve hjælpe mig med den sidste opgave, c (har beskrevet det i #0) ? Det handler om at finde vinklen mellem to linjer.

#9

Vinklen mellem to linier findes som vinklen mellem liniernes retningsvektorer.

#10

Det har jeg også regnet ud, hvor jeg kom frem til at vide, at det blev 143.25º. Når jeg ser på tegningen, synes jeg ikke, at det godt passer. Vinklen v må være mindre end 90 grader, for linjen er skæv - skærer igennem punkt B.

#11

Jeg får den samme vinkel mellem vektorerne. Hvis du så vender retningen på den ene af de to retningsvektorer, finder du supplementvinklen til denne vinkel, dvs 36,75º . Den er jo lige så god her.

#12

Ja, det kan jeg godt se! Jeg har et sidste spørgsmål: hvad er en supplement vinkel?

#13

To vinkler kaldes supplementvinkler, hvis deres sum er lig med 180º . De to vinkler supplerer hinanden til en lige vinkel.

#14

Nå, ja selvfølgelig. Jeg ved ikke hvordan jeg skal takke dig Torben. Er meget taknemmelig for din kæmpe stor hjælp! Det skal du bare vide og huske det altid. Men, men men ... min skriftlig mat eksamen kalder på mig! Du må have det godt. Stay safe.