Hjælp til differential ligninger

Du skal ikke løse differentialligningerne. Du skal bare indsætte f(x) og f '(x) og undersøge om ligningen er sand.

Når man skal undersøge, om en forelagt funktion er løsning til en differentialligning, skal man ikke løse differentialligningen, men indsætte løsningen på begge sider i differentialligningen, og eftervise, at de to sider er lig med hinanden.

a) f(x) = x² - 3x , f '(x) = 2x -3 , og dermed x·f '(x) - x² = 2x² -3x -x² = x² -3x = f(x)

Prøv nu selv med b) og c)

Ah tusind tak, det giver mening :D Så har jeg styr på den del.

Men hvad så hvis jeg skulle løse en differentialligning.

Som ex dy/dx=3x-2y, kan jeg gøre det med seperation, eller er der en anden metode jeg har misset? har prøvet at regne den ved seperation og får y=√(3x²-4), men facit siger 3/2x-3/4

#3

Den ligning er ikke helt så nem at løse ved separation, fordi højresiden ikke er et produkt af en funktion af x og en funktion af y. Hvis vi differentierer ligningen, får vi

y'' = 3 -2y'

der er en sædvanlig differentialligning i y', som er separerbar:

(y' -3/2)' = -2(y' -3/2) ,

så vi ser, at

ln(y' -3/2) = -2x + c, og dermed

y' = 3/2 + c·e^-2x = 3x -2y , dvs

y = (3/2)x - (3/4) + c·e^-2x

Man kan også benytte den såkaldte panserformel, der er løsningen for den generelle lineære differentialligning af 1. orden. Differentialligningen skrives så på formen

y' + 2y = 3x ,

hvor p(x) = 2 og q(x) = 3x . Den fuldstændige løsning er så

y = e^-2x · ( ∫ e^2x ·3x dx + c ) = e^-2x · ((1/2)e^2x · 3x - (1/2)·3·∫ e^2x dx + c)

   = e^-2x · ((1/2)e^2x · 3x - (1/2)·3·(1/2)e^2x + c)

   = (3/2)x - (3/4) + c·e^-2x

Ah, det var lige præcis det med panserfomlen jeg havde ledt efter. Nu forstår jeg osse den del, så må jeg lige se om ikke jeg kan finde ud af det på nogle andre opgaver :) og så er jeg vist klar til skriftlig eksamen imorgen.

Tusind tak for alt hjælpen.