Hej

Jeg har arbejdet med følgende opgave:

Trekanten ABC er ligebenet, og |AB| = |BC|, mens |AC| har længden 52.

Jeg skal finde vinkel B, længden |AB|  samt trekantens areal.

Da trekanten ikke er retvinklet, må jeg ud i en omskrivning:

52 = a²+b^2-2ac * cos (27 deg)

52
--------------------  = a² + c^{2 -} 2ac
cos (27 deg)

MEN HOV! I og med at trekanten er ligebenet, er a = c , dvs

52 
----------------- = a²+a² - 2 * a * a = 52/cos(27 deg) = 2a² - 2a² 
cos (27 deg) 

58 = 0 

.... Som I kan se, er min metode fuldstændig væk, men jeg kan logisk gennemskue, det, der foregår, og jeg ved, at længden på de AB og BC er 29,18 (cos(27 deg)/2). Det "ved" jeg sådan rent logisk (~ 58 er jo a+c, og facitlisten giver mig ret).

Er der nogen, der kan  løse det her for mig, så jeg får en mindre vilkårlig fremgangsmåde?

27 deg er forresten vinklen til A :)

følgeligt, eftersom trekanten er ligebenet, gives der selvfølgelig

θ_B = 180 - 2*27 = 126 deg

 

mens arealet er 1/2*h*g

eller

0,5 * h * 52 ... jeg vil finde ud af toppunktet ved at skære ABC i to halve, så vi får en ret vinkel i midten og den ene ligebenede side fungerer som hypotenuse:

a^{2 +} b² = c² 

(52/2)² + b² = 29,18²

b²= 175,5

sqr(b²) = sqr(175,5)

b = 13,25

Areal(ABC) = 0,5*13,25*52 = 344,5

Højden fra B på AC deler den ligebenede trekant i to kongruente retvinklede trekanter. Længden af højden er da

h_b = tan(A)·b/2 ,

hvorfor trekantens areal er

T = (1/2)·h_b·b = (b/2)²·tan(A) = 26²·tan(27º) = 344,4392

Resultatet i #2 er ikke afrundet korrekt.

#3

Hej Andersen

Jeg har luret arealet, men tak for at vise mig den der nyttige tan-applikation. Jeg er dog mest bekymret for min fremgangsmåde i at finde de ligebenede siders længder - min fremgangsmåde i løsningen af den første ligning. Jeg er ikke blevet undervist i det, og jeg har sådan ca. 0 styr på det.

Apropos afrunding:

Du har ret! :-)

#4

Da højden fra B deler den ligebenede trekant i to kongruente retvinklede trekanter, har vi

cos(A) = (b/2) / a , hvorfor

a = c = (b/2)/cos(A) = 26/cos(27º) = 29,1805

#4

Hvis man endelig ønsker at anvende cosinusrelationen, skal man anvende den korrekt. I denne trekant er er a = c, og b = 52, og A = C = 27º . Man har derfor

a² = b² + c² - 2bc·cos(A) ,

der ved at benytte at c = a, reduceres til

a² = b² + a² - 2ab·cos(A) , eller

a = b / (2·cos(A)) ,

i overensstemmelse med resultatet i #5.