Matematik

Trigonometrisk ligningsløsning

09. juli 2012 af SYGNOK (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg har arbejdet med følgende opgave:

Trekanten ABC er ligebenet, og |AB| = |BC|, mens |AC| har længden 52.

Jeg skal finde vinkel B, længden |AB|  samt trekantens areal.

Da trekanten ikke er retvinklet, må jeg ud i en omskrivning:

52 = a2+b2-2ac * cos (27 deg)

52
--------------------  = a+ c2 - 2ac
cos (27 deg)

MEN HOV! I og med at trekanten er ligebenet, er a = c , dvs

52 
----------------- = a2+a2 - 2 * a * a = 52/cos(27 deg) = 2a2 - 2a2 
cos (27 deg) 

58 = 0 

.... Som I kan se, er min metode fuldstændig væk, men jeg kan logisk gennemskue, det, der foregår, og jeg ved, at længden på de AB og BC er 29,18 (cos(27 deg)/2). Det "ved" jeg sådan rent logisk (~ 58 er jo a+c, og facitlisten giver mig ret).

Er der nogen, der kan  løse det her for mig, så jeg får en mindre vilkårlig fremgangsmåde?


Svar #1
09. juli 2012 af SYGNOK (Slettet)

27 deg er forresten vinklen til A :)

følgeligt, eftersom trekanten er ligebenet, gives der selvfølgelig

θB = 180 - 2*27 = 126 deg

 


Svar #2
09. juli 2012 af SYGNOK (Slettet)

mens arealet er 1/2*h*g

eller

0,5 * h * 52 ... jeg vil finde ud af toppunktet ved at skære ABC i to halve, så vi får en ret vinkel i midten og den ene ligebenede side fungerer som hypotenuse:

a2 + b2 = c

(52/2)2 + b2 = 29,182

b2= 175,5

sqr(b2) = sqr(175,5)

b = 13,25

Areal(ABC) = 0,5*13,25*52 = 344,5

 


Brugbart svar (1)

Svar #3
09. juli 2012 af Andersen11 (Slettet)

Højden fra B på AC deler den ligebenede trekant i to kongruente retvinklede trekanter. Længden af højden er da

hb = tan(A)·b/2 ,

hvorfor trekantens areal er

T = (1/2)·hb·b = (b/2)2·tan(A) = 262·tan(27º) = 344,4392

Resultatet i #2 er ikke afrundet korrekt.


Svar #4
09. juli 2012 af SYGNOK (Slettet)

#3

Hej Andersen

Jeg har luret arealet, men tak for at vise mig den der nyttige tan-applikation. Jeg er dog mest bekymret for min fremgangsmåde i at finde de ligebenede siders længder - min fremgangsmåde i løsningen af den første ligning. Jeg er ikke blevet undervist i det, og jeg har sådan ca. 0 styr på det.

Apropos afrunding:

Du har ret! :-)


Brugbart svar (1)

Svar #5
09. juli 2012 af Andersen11 (Slettet)

#4

Da højden fra B deler den ligebenede trekant i to kongruente retvinklede trekanter, har vi

cos(A) = (b/2) / a , hvorfor

a = c = (b/2)/cos(A) = 26/cos(27º) = 29,1805


Brugbart svar (0)

Svar #6
09. juli 2012 af Andersen11 (Slettet)

#4

Hvis man endelig ønsker at anvende cosinusrelationen, skal man anvende den korrekt. I denne trekant er er a = c, og b = 52, og A = C = 27º . Man har derfor

a2 = b2 + c2 - 2bc·cos(A) ,

der ved at benytte at c = a, reduceres til

a2 = b2 + a2 - 2ab·cos(A) , eller

a = b / (2·cos(A)) ,

i overensstemmelse med resultatet i #5.


Skriv et svar til: Trigonometrisk ligningsløsning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.