Matematik
Trigonometrisk ligningsløsning
Hej
Jeg har arbejdet med følgende opgave:
Trekanten ABC er ligebenet, og |AB| = |BC|, mens |AC| har længden 52.
Jeg skal finde vinkel B, længden |AB| samt trekantens areal.
Da trekanten ikke er retvinklet, må jeg ud i en omskrivning:
52 = a2+b2-2ac * cos (27 deg)
52
-------------------- = a2 + c2 - 2ac
cos (27 deg)
MEN HOV! I og med at trekanten er ligebenet, er a = c , dvs
52
----------------- = a2+a2 - 2 * a * a = 52/cos(27 deg) = 2a2 - 2a2
cos (27 deg)
58 = 0
.... Som I kan se, er min metode fuldstændig væk, men jeg kan logisk gennemskue, det, der foregår, og jeg ved, at længden på de AB og BC er 29,18 (cos(27 deg)/2). Det "ved" jeg sådan rent logisk (~ 58 er jo a+c, og facitlisten giver mig ret).
Er der nogen, der kan løse det her for mig, så jeg får en mindre vilkårlig fremgangsmåde?
Svar #1
09. juli 2012 af SYGNOK (Slettet)
27 deg er forresten vinklen til A :)
følgeligt, eftersom trekanten er ligebenet, gives der selvfølgelig
θB = 180 - 2*27 = 126 deg
Svar #2
09. juli 2012 af SYGNOK (Slettet)
mens arealet er 1/2*h*g
eller
0,5 * h * 52 ... jeg vil finde ud af toppunktet ved at skære ABC i to halve, så vi får en ret vinkel i midten og den ene ligebenede side fungerer som hypotenuse:
a2 + b2 = c2
(52/2)2 + b2 = 29,182
b2= 175,5
sqr(b2) = sqr(175,5)
b = 13,25
Areal(ABC) = 0,5*13,25*52 = 344,5
Svar #3
09. juli 2012 af Andersen11 (Slettet)
Højden fra B på AC deler den ligebenede trekant i to kongruente retvinklede trekanter. Længden af højden er da
hb = tan(A)·b/2 ,
hvorfor trekantens areal er
T = (1/2)·hb·b = (b/2)2·tan(A) = 262·tan(27º) = 344,4392
Resultatet i #2 er ikke afrundet korrekt.
Svar #4
09. juli 2012 af SYGNOK (Slettet)
#3
Hej Andersen
Jeg har luret arealet, men tak for at vise mig den der nyttige tan-applikation. Jeg er dog mest bekymret for min fremgangsmåde i at finde de ligebenede siders længder - min fremgangsmåde i løsningen af den første ligning. Jeg er ikke blevet undervist i det, og jeg har sådan ca. 0 styr på det.
Apropos afrunding:
Du har ret! :-)
Svar #5
09. juli 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Da højden fra B deler den ligebenede trekant i to kongruente retvinklede trekanter, har vi
cos(A) = (b/2) / a , hvorfor
a = c = (b/2)/cos(A) = 26/cos(27º) = 29,1805
Svar #6
09. juli 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Hvis man endelig ønsker at anvende cosinusrelationen, skal man anvende den korrekt. I denne trekant er er a = c, og b = 52, og A = C = 27º . Man har derfor
a2 = b2 + c2 - 2bc·cos(A) ,
der ved at benytte at c = a, reduceres til
a2 = b2 + a2 - 2ab·cos(A) , eller
a = b / (2·cos(A)) ,
i overensstemmelse med resultatet i #5.
Skriv et svar til: Trigonometrisk ligningsløsning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.