Kontrol af et bevis

Jeg ser lige hurtigt at jeg har lavet en lille skrivefejl i beviset. Jeg har i den første del af beviset skrevet B i stedet for C, men jeg håber det fremgår at det bare er en skrivefejl og ikke en teknisk fejl ;)

Kan du evt gemme det som .png (et billede af dokumentet)?

Det ved jeg ikke lige hvordan jeg gør, men kan pdf bruges?

Selvfoelgelig.

Her er det :)

Man kan her bemærke analogien mellem mængdeoperationerne ∩ og ∪ og udsagnsoperatorerne ∧ og ∨ . Således er ligheden

A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

helt analogt med udsagnet

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

der jo kan vises ved at opstille sandhedstabeller :

p  q  r  |  p ∧ (q ∨ r)   |   (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
---------------------------------------------------------
s  s  s |         s              |                 s
s  s  f  |         s              |                 s
s  f  s  |         s              |                 s
s  f  f   |          f              |                 f
f  s  s  |         f               |                 f
f  s  f   |         f               |                 f
f  f  s   |         f               |                 f
f  f   f   |          f              |                 f

Ahh.. det var faktisk meget smart :)) Den havde jeg ikke lige tænkt på. Jeg skal dog lige i dette tilfælde bevise ligheden ved brug af det man kalder "element argument" som er det jeg har prøvet i mit bevis, så jeg er meget interesseret i at hører om beviset holder. Men din tilgang er ret smart, det gør det jo uden tvivl noget lettere :)

#7

Man har så, for vilkårlige mængder A, B og C, og et element x, at

x ∈ A ∩ (B ∪C) ⇔

x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪C) ⇔

x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇔

(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇔

x ∈(A ∩ B) ∨ x ∈(A ∩ C) ⇔

x ∈ (A ∩ B) ∪(A ∩ C) ,

hvor vi har benyttet ækvivalensen mellem udsagnene vist i #6. Heraf aflæses så mængdeligheden

A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪(A ∩ C)

Det er vel i bund og grund også det jeg er kommet frem til, du bruger bare lidt mere elegant notation end jeg formår. Men det er vel kun halvdelen af beviset da det kun viser den venstre side er en delmængde af højre side? Ikke sandt?

Men det jeg har skrevet, kan det bruges som bevis? Jeg vil fremover prøve at benytte mig af din mere direkte notation, det skaber lidt overblik ;)

Arhh.. nej nu kan jeg godt se det selvfølgelig er et helt bevis fordi du henviser til sandhedstabellen. Men hvad siger du til mit bevis som ikke bruger sandshedstabeller?

#9

Dit bevis er i det store et brugbart bevis. Jeg forstår dog ikke, hvorfor der gås fra x ∈ (A∩B) til x ∈(A∩B)∪(A∩B) og tilsvarende for (A∩C) (linie 3 - 4 i "⊆"-delen). Dette forekommer at være et overflødigt skridt.

okay, det vil jeg lige kigge på, jeg kan ikke lige se det er overflødigt, men når du siger det er jeg sikker på det er rigtigt, jeg skal bare lige have kigget på det og rigtig forstå hvorfor det er overflødigt :) Mange tak for det ;)

#12

For enhver mængde C gælder der trivielt, at C = C ∪C . Derfor er der ikke meget nyt indhold i at skrive

x ∈(A∩B) ⇒ x ∈(A∩B) ∪(A∩B)

Der er som sagt også sneget sig en lille fejl ind i mit bevis. Jeg troede bare du have kommet til at kopirere min fejl. Det der skulle stå var at hvis x er et element i (A∩B) så har vi at x er et element i (A∩B) U (A∩C). Jeg har bare kommet til at sætte et B ind i stedet for C ;)

#14

Det giver så meget mere mening nu med den korrektion.

Super, det er jeg glad for :))

Og mange tak for din hjælp i øvrigt :)

#17

Velbekomme da.