Integralregning

I 1. linie benyttes partiel integration. Dernæst benyttes, at -cos(x) er en stamfunktion til sin(x) .

der er brugt delvisintegration

Men hvorfor flytter man 1 ud foran integraltegnet i 1. linje, og hvor bliver det efterfølgende af i 2. linje?

                  ∫(x-1)·cos(x) dx = (x-1)·sin(x) - ∫1·sin(x) dx

                 ∫(x-1)·cos(x) dx = ∫cos(x)·(x-1) dx = sin(x)·(x-1) - ∫ sin(x)·(x-1) ' dx =

                         sin(x)·(x-1) - ∫ sin(x)·1 dx =  sin(x)·(x-1) -  ∫ sin(x)dx =                      

                         sin(x)·(x-1) -  (-cos(x) + c = sin(x)·(x-1) + cos(x) + c

#3

Der står en faktor 1 under integraltegnet for at vise, at funktionen (x-1) differentieres til funktionen 1 i den partielle integration. Man flytter det så uden for integralet, fordi 1 jo er en konstant, og man undlader så helt at skrive 1, da 1 som faktor i et produkt helt kan udelades.

Tak! Jeg tror, jeg forstår. Men lad os nu sige, at funktionen (x-1) i stedet hed (x²-1), så ville konstanten være 2 og ikke 1. Men 2 ville ikke forsvinde ligesom konstanten 1, når det bliver sat uden for integralet vel?

#6

Hvis der var tale om funktionen (x²-1), ville den i den partielle integration differentieres til 2x , og den sidste del at omskrivningen ville så blive

-∫ 2x·sin(x) dx ,

hvor man kunne sætte faktoren 2 uden for integralet. Men selvfølgelig kan man ikke smide en faktor 2 væk.

Super så er jeg med. :)

"Men lad os nu sige, at funktionen (x-1) i stedet hed (x²-1), så ville"

∫(x²- 1)·cos(x) dx = ∫cos(x)·(x²- 1) dx = sin(x)·(x²- 1) - ∫ sin(x)·(x²- 1) ' dx =

                         sin(x)·(x²- 1) - ∫ sin(x)·2x dx =  sin(x)·(x²-1) -  2·∫ x·sin(x)·x dx 

hvor                                     
         ∫sin(x)·xdx = -cos(x)·x - ∫-cos(x)·1dx = -cos(x)·x + sin(x)

så
         ∫(x²- 1)·cos(x) dx = sin(x)·(x²- 1) - ∫ sin(x)·2x dx =  sin(x)·(x²-1) - 2·(-cos(x)·x + sin(x)) + c

         ∫(x²- 1)·cos(x) dx = (x²- 1)·sin(x) + 2x·cos(x) - 2·sin(x) + c

         ∫(x²- 1)·cos(x) dx = (x²- 3)·sin(x) + 2x·cos(x) + c

rettelse af dobbeltnotation i 2. linje:

               sin(x)·(x²- 1) - ∫ sin(x)·2x dx =  sin(x)·(x²-1) -  2·∫ x·sin(x)·x dx

--->

               sin(x)·(x²- 1) - ∫ sin(x)·2x dx =  sin(x)·(x²-1) -  2·∫ sin(x)·x dx