Hej!

Jeg sidder her med endnu en opgave omkring kvadratisk programmering (se vedhæftet dokument).

Men forstår ikke, hvordan en ellipse med centrum i (60, 85), som jeg antager giver maksimum af varerne A og B pr. uge. Kan passe sammen med delspørgsmål b), hvor man skal tage højde for en begrænsning på x + y ≤ 100.

Er der nogen der kan se sig ud af dette? Eller forklare mig, hvad jeg tolker forkert ved denne opgave?

På forhånd tak.

Her binder begrænsningen, så du kan gå ud fra at x+y = 100. Isoler x eller y og sæt resultatet ind i f(x,y). Derefter kan du optimere som funktion af en variabel

Men fra delspørgsmål a), får jeg at vide at x=60 og y=85.

Ved at plusse x og y, så passer det ikke med begrænsningen?

Du får at vide at funktionen har optimum for x=60 og y=85. Da begrænsningen ikke overholdes med disse værdier ,som det gjorde i den forgående opgave. kan du slutte at begrænsningen binder. Du kan altså slutte at med denne begrænsning er funktionen optimal for x+y=100

I delspm a) viser man at niveaukurven for P(x,y) = 1525 er en ellipse med centrum i (60,85) med halve akser a = 20 og b = 10. Punkterne for denne niveaukurve er punkter på ellipsen. Der siges ikke noget om, at funktionen har optimum for x=60 og y=85.

Mere generelt er niveaukurven N(t) for værdien t givet ved ligningen

-0,25x² +30x -y2 +170y -6500 = t , dvs

0,25(x² -120x +60²) + (y² - 170y +85²) = 900 + 7225 -6500 -t = 1625 - t , dvs

(x -60)² / (4·(1625 -t)) + (y -85)² / (1625 -t) = 1

Vi ønsker at gøre t så stor som mulig samtidig med, at y ≤ 100 -x . Det er klart, at t ikke kan være større end 1625. Når vi går gennem voksende værdier af t hen mod t = 1625, er niveaukurven N(t) en ellipse med centrum i (60,85), hvis halvakser bliver mindre og mindre og nærmer sig 0. Det er så klart, at vi får den største værdi af t med x + y ≤ 100 , hvor ellipsen N(t) har linien y = 100 - x som tangent.

Ellipsen med ligningen

(x - x_c)² / a² + (y - y_c)² / b² = 1

har i punktet (x₀;y₀) en tangent med ligningen

(x  - x_c)·(x₀ - x_c) / a² + (y - y_c)·(y₀ - y_c) / b² = 0

Her er (x_c;y_c) = (60;85) , mens a² = 4·(1625 -t) og b² = 1625 -t . tangenten til ellipsen i punktet (x0;y0) har derfor ligningen

(x - 60)·(x₀ - 60)/4 + (y - 85)·(y₀ - 85) = 0 .

Vi ønsker, at tangentens hældningskoefficient skal være -1, dvs

-(1/4)·(x₀ -60)/(y₀ -85) = -1 , eller

x₀ -60 = 4(y₀ -85) og dermed

4y₀ -x₀ = 4·85 -60 = 280 .

Endvidere skal der også gælde

x₀ + y₀ = 100 ,

hvoraf man så får

5y₀ = 380 , eller y₀ = 76,  og dermed x₀ = 100 - y₀ = 24

Okay tak for svar. :)

Skal lige tænke lidt over det.