Hjælp til kvadratisk programmering

Her binder begrænsningen, så du kan gå ud fra at x+y = 100. Isoler x eller y og sæt resultatet ind i f(x,y). Derefter kan du optimere som funktion af en variabel

Men fra delspørgsmål a), får jeg at vide at x=60 og y=85.

Ved at plusse x og y, så passer det ikke med begrænsningen?

Du får at vide at funktionen har optimum for x=60 og y=85. Da begrænsningen ikke overholdes med disse værdier ,som det gjorde i den forgående opgave. kan du slutte at begrænsningen binder. Du kan altså slutte at med denne begrænsning er funktionen optimal for x+y=100

I delspm a) viser man at niveaukurven for P(x,y) = 1525 er en ellipse med centrum i (60,85) med halve akser a = 20 og b = 10. Punkterne for denne niveaukurve er punkter på ellipsen. Der siges ikke noget om, at funktionen har optimum for x=60 og y=85.

Mere generelt er niveaukurven N(t) for værdien t givet ved ligningen

-0,25x² +30x -y2 +170y -6500 = t , dvs

0,25(x² -120x +60²) + (y² - 170y +85²) = 900 + 7225 -6500 -t = 1625 - t , dvs

(x -60)² / (4·(1625 -t)) + (y -85)² / (1625 -t) = 1

Vi ønsker at gøre t så stor som mulig samtidig med, at y ≤ 100 -x . Det er klart, at t ikke kan være større end 1625. Når vi går gennem voksende værdier af t hen mod t = 1625, er niveaukurven N(t) en ellipse med centrum i (60,85), hvis halvakser bliver mindre og mindre og nærmer sig 0. Det er så klart, at vi får den største værdi af t med x + y ≤ 100 , hvor ellipsen N(t) har linien y = 100 - x som tangent.

Ellipsen med ligningen

(x - x_c)² / a² + (y - y_c)² / b² = 1

har i punktet (x₀;y₀) en tangent med ligningen

(x  - x_c)·(x₀ - x_c) / a² + (y - y_c)·(y₀ - y_c) / b² = 0

Her er (x_c;y_c) = (60;85) , mens a² = 4·(1625 -t) og b² = 1625 -t . tangenten til ellipsen i punktet (x0;y0) har derfor ligningen

(x - 60)·(x₀ - 60)/4 + (y - 85)·(y₀ - 85) = 0 .

Vi ønsker, at tangentens hældningskoefficient skal være -1, dvs

-(1/4)·(x₀ -60)/(y₀ -85) = -1 , eller

x₀ -60 = 4(y₀ -85) og dermed

4y₀ -x₀ = 4·85 -60 = 280 .

Endvidere skal der også gælde

x₀ + y₀ = 100 ,

hvoraf man så får

5y₀ = 380 , eller y₀ = 76,  og dermed x₀ = 100 - y₀ = 24

Okay tak for svar. :)

Skal lige tænke lidt over det.