krumning (calculus)

jeg har selv forsøgt at løse spørgsmålet ved brug af denne formel (som jeg vedhæfter)

men hvis jeg differentierer x(t) fås jo 0. så bliver tælleren jo 0? 

x'(t) = 1. Desuden indgår der jo også y'(t)

hvis man differentierer en konstant fås der så ikke 0? 

y'(t) indgår også, men hvis x'(t) og den ganges med y'(t), så bliver hele tælleren jo 0. 

Jo men x(t) er ikke en konstant. x(t) = t, x'(t) = 1 x''(t) = 0

Nu har jeg svaret ud fra den formel, du har opgivet og den angiver rent faktisk den inverse til krumningsradius. Så vidt jeg kan se af #3 mener du til tælleren i den brøk, du har angivet. Den kan godt blive 0, i hvilket tilfælde krumningsradius bliver uendelig. Det sker for eks. hvis du har en ret linje. I dit tilfælde sker det bare ikke. Tælleren bliver 1*cos(t) -0*(-sin(t))

men der står i opgaven at t = (3pi)/4

Hvilket så indsat giver κ = |cos(3π/4)((1²+cos²(3π/4))^3/2|

Jeg tror jeg er med, tak.

Formlen i #1 er netop formlen til beregningen af krumningen κ , hvilket også er den størrelse, der ønskes beregnet i opgaven i #0. Indsætter man den forelagte parameterkurve

x(t) = t , y(t) = sin(t) ,

fås

κ(t) = | cos(t) / (1 + cos²(t))^3/2 | ,

og dermed

κ(3π/4) = | cos(3π/4) / (1 + cos²(3π/4))^3/2 |

              = | -(√2)/2 / (1 + (1/2))^3/2 |

              = 2·√2 / (3·(√2)·(√3)) = (2/9)·√3

y(t) = sin(t) 

y'(t) = cos(t) 

y''(t) = -sin(t) 

så kan det vel ikke passe at tælleren er cos(t). 

jeg får det til

     k(3π/t) = (-sin(3π/t)) / (1+(cos(3π/t))²)^3/2

Er der andre der kan hjælpe?

#9, #10

Du har ret. Med x(1) = t, y(t) = sin(t), er

x'(t) = 1, x''(t) = 0

y'(t) = cos(t), y''(t) = -sin(t) .

Vi har da

κ(t) = | (x'(t)·y''(t) -x''(t)·y'(t)) / (x'(t)² + y'(t)²)^3/2 |

       = | -sin(t) / (1 + cos²(t))^3/2 |

#12 

Tak for det, 

er det ok at man skriver det som svar og ikke regner videre derfra? 

#13

Man skal jo så indsætte t = 3π/4 for at beregne κ(3π/4) , og da |cos(3π/4)| = |sin(3π/4)| , er resultatet i #8 stadig korrekt.

#14 Det var heldigt ;-)  

men er det ok at stoppe her, eller skal man regne videre som i #8 

k(3π/t) = (-sin(3π/t)) / (1+(cos(3π/t))²)^3/2

#15

Jeg ved ikke, hvor du får 3π/t fra . Man finder først

κ(t) = | -sin(t) / (1 + cos²(t))^3/2 | .

Man skal så beregne κ(3π/4) ved at indsætte t = 3π/4 i udtrykket for κ(t) , og den beregning skal man så gøre færdig, som vist i #8.

#16 

Det var en fejl fra min side af, mente self. 3pi/4. 

Det jeg mente var, hvis man ikke var sikker på at kunne regne videre fra fx dette punkt 

-(√2/2) / (1 + (1/2))^3/2

om det så var fint at stoppe der, da det er en eksamen uden hjælpemidler.

I  #8 

ganger du både tælleren og nævneren med 4, men hvad med den negative fortegn i tælleren? 

Er det fordi der kræves et nummerisk værdi, at du ser bort fra det?

Kan du desuden forklare hvorfor 

2·√2 / (3·(√2)·(√3)) = (2/9)·√3

Hvorfor er det i nævneren 9? 

Der bruges at 1/kvrod(3) = kvrod(3)/3 (fås ved at gange i tæller og nævner med kvrod(3)). jeg ignorere alt i leddet med 2 i det følgende for at gøre det klarere. Der står så

1/(3*kvrod(3)) = (1/kvrod(3) )/3 = (kvrod(3)/3)/3 = kvrod(3)/9