Linear algebra

der er nok en sætning i din bog som siger at en ortogonaliseringsprocedure producer en ortonormalbasis. men ellers kan du tjekke at

a•b={  0 , a≠b

       {  1  ,a=b

hvad er min a og b? 

Så man kan altid tænke at når man udfører en ortogonaliseringsprocedure producere man så altid ortonormalbasis? 

Men der står i opg det skal være for det underrum der er givet.

#2 a og b er bare 2 tilfældige vektorer, du skal bruge de vektorer som du fandt i a).

jamen er det så svaret på at det er en ortonormalbasis for det underrum som er givet i (b)??

Jeg opfatter spørgsmålet som et definitionsspørgsmål, hvor man skal demonstrere at man har forstået definitionen på en ortonormalbasis....

Hvis jeg skulle svare på spørgsmålet ville jeg derfor blot opskrive definitionen på en ortonormalbasis og kontrollere at den anvendte procedure har givet vektorer der opfylder dette krav..... kravet er givet i svar #1.

hmm okay mange tak.

De fire vektorer der udspænder rummet er ikke lineært uafhængige... så du har vel fundet nogle lineært uafhængige vektorer der udspænder underrummet og derefter normaliseret til f.eks. q1 q2 q3 ..... dvs. du bør nok også nævne at

span (q1,q2,q3) = span ((3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1))

Hvordan ved du de ikke er lineært uafhængige? ja altså i opg a fandt jeg 3 vektorer har så bare kaldt dem b1 ,b2 og b3. men de er ikke lig med span ((3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)) det her ??

#9

Hvorfor formulerer du ikke hele opgaven, så vi ikke skal gætte os til detaljerne?

Hvis du har fundet en basis {b1,b2,b3} for span{(3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)} , har dette underrum dimension 3, og de fire vektorer i span{(3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)} er følgeligt ikke lineært uafhængige.

Endvidere ser man, at

-1·(3,0,4,0) + 1·( (4,1,3,1) - (0,1,0,1) ) = (1,0,-1,0)

hvilket viser at sættet er lineært afhængigt.

#9 ortogonaliseringsproceduren bevarer span så de vektor du har fundet har det samme span som dem du startede med.

Jeg testede det på computer men metoden jeg ellers ville have anvendt er:

Jeg laver en matrice A, hvor vektorerne 

(3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)

er søjler. Derefter reducerer jeg til echelon og finder færre end fire initialettaller. Dette svarer til at have løst matrixligningen:

Ax=0

da der er en fri variabel er der uendeligt mange løsninger og derfor er den eneste løsning ikke x=0. Ergo kan de fire søjler i matricen ikke være lineært uafhængige jvf. definitionen af lineær uafhængighed.

I de søjler - f.eks. søjle 1 2 og 3 - hvor der hvor der fremkommer initialettaller, tager jeg tilsvarende søjler fra A (der jo var vektorer fra sættet {(3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)} ). Dem ved jeg nu er lineært uafhængige, hvorfor de kan fungere som en basis for span{(3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)}, idet basisvektorer skal være lineært uafhængige... derefter ville jeg ved ortonormalisering anvende Gram Schmidt... alle vektorerne har da længden 1 og står vinkelret på hinanden, hvorfor deres prikprodukt er 0 (når de to vektorer der prikkes er forskellige ellers 1). Jeg indsætter dem i en ny matrix

Q = [q1, q2 ,q3] of tager den transponerede  Q^t og udregner:

Q^t *  Q  =  I

Dermed fremkommer enhedsmatricen, idet diagonalen er den enkelte vektor prikproduktet med sig selv, hvilket giver en jvf. normalisering og ikke-diagonalfelter er prikprodukter af en vektor med en anden, hvilket giver 0 grundet de er vinkelrette.

(a) udfør gram schmidt ortogonaliseringproceduren på vektorerne (3,0,4,0),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)

resultatet b1=(3,0,4,0) b2=(28/25, 0 -21/25, 0) b3=(1232/625,0 , -1029/625, 0) 

#13

Det resultat kan ikke være rigtigt. Alle tre vektorer har 0 på 2. og 4. pladsen og kan derfor ikke være lineært uafhængige og kan aldrig kombineres til vektoren (0,1,0,1) .

#13 så har du hvad du skal bruge her i indlægget til at løse opgaven.

du kan enten gøre som #1 og #6 tjekke definitionen at være ortogonal eller du kan finde en eller 2 sætninger som siger at

gram schmidt ortogonaliseringproceduren producer en ortonormalbasis og at gram schmidt proceduren bevarer span.

det bemærkes også at b₁•b₃≠0

ok prøver regne den ud

Man kan benytte

b₁ = (3 , 0 , 4, 0)
b₂ = (28/25 , 0 , -21/25 , 0)
b₃ = (0 , 1 , 0 , 1)

som en ortogonal basis, frembragt af de tre vektorer (3,0,4,0),(1,0,-1,0),(0,1,0,1) .

Da vektorerne i {(3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)} er lineært afhængige, er det så klart, at sættet

{b₁/|b₁| , b₂/|b₂| , b₃/|b₃|}

udgør en ortonormal basis for underrummet span{(3,0,4,0),(4,1,3,1),(1,0,-1,0),(0,1,0,1)} .

hmmm okay tak så var det kun min b3 der var forkert . 

{b₁/|b₁| , b₂/|b₂| , b₃/|b₃|} hvor for du det fra?

Jeg for min b3 til (0,0,0,0). det kan jo ikke passe 

anders hvordan for du det til b3 ( 0,1,0,1)??