Egenværdier og egenvektorer

Hvis der trækkes 1 fra i diagonalen af A er tredje søjle i matricen en nuljøjle og enhver vektor t (0,0,1) må derfor give nul og ligge i nulrummet N(A-xE). 

Du må kunne dividere 3x_2 med 1.5 og trække det fra den første ligning.

Det giver x1=x2 = 0 så (0,0,1) er en egenvektor

Hvordan får i det fra -x₁+0=0?

Løsningen af ligningen giver jo x1=0 så hvad er problemet ?

gang med minus 1 for at ændre fortegn foran x_1

x_1 = 0

og divider 3x_2 med 3 (eller med 2 efter at have dividere med 1.5) så har du

x_2 = 0

Som lind skriver i #3 x1=x2=0

Dermed er den tredje variabel x3 fri. Hvis du løser det som matrix burde du få:

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Hvor man igen ser, at der ikke er noget initialettal i søjle tre så tredje variabel er fri. Den sættes så til at være lig med 1, hvorfor man i egenvektoren nu skriver et ettal på tredje plads (...,...,1). For at finde ud af hvad der skal stå på første koordinat og anden koordinat af egenvektoren bruger du at  x_3 = 1 og indsætter dette i ligningen for x1 og x2:

x1 + 0 * x3 = 0     Giver nul ligemeget hvad du indsætter så der skal stå nul på egenvektors første koordinat

x2 + 0*x3 = 0      Det samme....

Egenvektor er derfor (0,0,1). Hvilket vi ser passer fordi ethvert multiplum af denne vektor premultipliceret med matricen A-1*E giver nulvektoren præcis som hvis du premultiplicerede samme vektor med matricen:

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Det giver mening. Tak. 
Men hvad så når lambda = -i*sqrt(2)? 
 

Så får vi jo 

-i*sqrt(2)*x₁ + 2x₂ = 0

(2-3*i*sqrt(2))*x₂ - (1-i*sqrt(2))*x₃ = 0 

Så kan man da ikke få så flotte tal som før, vel? 

Ser lige på det... men generelt gælder det jo at komplekse rødder kommer i konjugerte par og det samme gør egenvektorerne også så når du har egenvektoren for den ene rod har du for den anden.

Nej det bliver ikke særlig pænt... med forbehold for regnefejl selvfølgelig.

Får

5/11 + (2/11)*sqrt(2)i

5/11 - (5/22)*sqrt(2)i

1

Som den ene vektor... men har ikke kontrolleret om det er rigtigt.

Ja, det passer meget godt, men jeg kan slet ikke overskue det, det bliver da nogle helt utrolig grimme brøker, eller er det bare mig, der er lidt for træt?

For at have kontrol, kan ses her (om lidt)

Se 

Som sagt er det meget normalt at det giver ret grimme udregninger med komplekse tal set i forhold til reelle tal og selførlgelig særligt fordi opgaver måske ofte bliver lavet så tallene bliver pænere. Personligt bruger jeg bare Gaussisk elimination helt slavisk og for at finde en egenvektor fik jeg udregninger på 1.5 A4 side...

Det tager tid men det er jo systematisk arbejde så med lidt øvelse bliver det ren rutine. Så egenligt er det let men stadig let at lave fejl.

Men er der noget sted du konkret går i stå i udregningerne?

Ja, delen til Gaussisk elimination kan jeg sagtens, efter det går jeg i stå hver gang. Jeg forstår simpelthen ikke hvordan I  kommer videre.. 

ok måske dette hjælper lidt

Det hjalp meget! Tror jeg.. 
Men jeg får stadig ikke det samme som dig.. Kan du måske vise mig din udregning fra #9?

Og jeg får slet ikke noget, der ligner det Maple får.

Jeg har regnet forkert i #9... den nye løsning jeg har fundet er den der er skrevet i pdf som tredje eksempel. Håber den er rigtig.... dette resultat har jeg kontrolleret i R. Men som du også kan se fra output i Mapple kan det være lidt besværligt at sammenligne et resultat opnået ved hovedregning og et på computer... men tjek lige om du får det samme som i pdf.

Den kojungerte vektor er naturligvis den anden komplekse løsning som nævnt..

Jeg fandt selv ud af det, havde lavet en fejl (: Men tak for hjælpen.