vektorer og planer i rummet

lad det være en funktion af z foreksempel

Dvs isoler z...

Det giver 3 planer der skære hinanden i det samme punkt.

Brug formlen:

for paramatiseringen

Det er lidt misvisende at kalde den 3. plan for y) Lad os i stedet kalde den c.

To planer, der ikke er parallelle, skærer hinanden i en ret linie. Liniens retningsvektor ligger i begge planer og vil derfor være vinkelret på begge planers normalvektorer.

Betragt nu planerne a og b. En normalvektor til planen a er

n_a = [2 ; -1 ; 2]

og en normalvektor til planen b er

n_b = [3 ; 2 ; 1] .

En retningsvektor for skæringslinien mellem plan a og plan b er derfor

r_ab = n_a × n_b = [-5 ; 4 ; 7]

Sætter vi x = 0 i ligningerne for planerne a og b, får vi ligningssystemet

-y + 2z = 3
2y + z = 2

der har løsningen (y,z) = (1/5 ; 8/5) . Et punkt på skæringslinien mellem planerne a og b er derfor punktet

P(0 ; 1/5 ; 8/5) .

Ved indsættelse ses, at dette punkt også ligger i planen c.

En normalvektor for planen c er vektoren

n_c = [1 ; -4 ; 3] ,

og da r_ab • n_c = 0 , ser vi, at skæringslinien mellem planerne a og b også ligger i planen c. De tre planer a, b og c skærer derfor hinanden i den samme linie bestemt ved punktet P og retningsvektoren r_ab , for hvilken en parameterfremstilling er

[x ; y ; z] = [0 ; 1/5 ; 8/5] + t · [-5 ; 4 ; 7] , t ∈ R .