Taylorrække

se https://da.wikipedia.org/wiki/Taylor_r%C3%A6kke

Jeg antager at funktionen f(x) = (ln(x))^k differentiabar i punkt 1, så

T_nf(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)(x - 1)²/2 + .... + f⁽ⁿ⁾(1)(x - 1)ⁿ/n! = _i=0∑ⁿf⁽ⁱ⁾(1)(x - 1)ⁱ/i!

Hvis n går mod uendelig, er det en taylorrække. Der ses jo at 

f(1) = 0^k, f'(1) = ikke defineret, f''(1) =  ikke defineret. Så må f⁽ⁿ⁾ også være ikke defineret?

#2

Funktionen er

f(x) = (ln(x))^k ,

så

f '(x) = k·(ln(x))^k-1 / x ,

f ''(x) = k·(k-1)·(ln(x))^k-2 / x² - k·(ln(x))^k-1/ x²

f(1) = 0^k = 0 , f '(1) = k·0^k-1 / 1 = 0, f ''(1) = k·(k-1)·0^k-2 - k·0^k-1 = 0 .

f(x) = t^k , med t = ln(x)

f '(x) = df/dt · dt/dx = k·t^k-1 · (1/x) ,

f ''(x) = k·(k-1)·t^k-2 · (1/x)² - k·t^k-1 · (1/x)²