Uligheder og kontinuertitet

Etabler ulighederne

|sinh(x)|≤3|x| , |cosh(x) - 1|≤3|x| for |x|<1/2

ved at udnytte lærebogens eksempel 2.8. Gør herudfra (og ved hjælp af additionsformlerne) rede for at cosh(x) og sinh(x) er kontinuerte funktioner. Vis at

cosh([0,∞[) = [1,∞],    sin(R) = R

Vink: Undersøg grænseopførsel, indse f.eks. at cosh(x) → ∞ for x → ∞, og træk på hovedsætning 2A.

I eksempel 2.8 står der;

"Lad os vise at exp(x) → 1 for x → 0. Vi tager udgangspunkt i standarduligheden 1 + x ≤ exp(x). Ved at gå ind i den med -x fås 1 - x ≤ exp(-x). For x < 1 kan vi omarrangere denne ulighed og opnå en vurdering af eksponentialfunktion i begge retninger,

1 + x ≤ exp(x) ≤ 1/(1 - x) for alle x < 1,

og dermed x ≤ exp(x) - 1 ≤ 1/(1 - x) for alle x < 1

(..) Vi får

|exp(x) - 1| ≤ max{|x|,|x/(1-x)|} ≤ |x| + |x|/(1-x) for x < 1

Vi er interessert i x tæt ved 0, så vi kan med sindsro fokusere på f.eks. x < 1/2, og derved opnå at

|exp(x) - 1| ≤ 3|x| for x < 1/2."

I hovedsætning 2A står der "For en kontinuert funktion f: [a,b] → R defineret på et afsluttet, begrænset interval [a,b]⊂R vil billedmængden f([a,b]) indeholde alle tal mellem f(a) og f(b)."

Kan I hjælpe mig med at skubbe frem?