Matematik

Fejlen?

31. juli 2014 af MLittau (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har brug for hjælp til følgende opgave:

En funktion f er bestemt ved:

f(x)=3x³+3x²-12x, x ∈ ] -13/4, 9/4 [

a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og linjen m der er givet ved ligningen y=-3x.

Har jeg fået til: (0,0), (-2,30;6,91) og (1,30;-3,91).

Grafen for f og linjen m afgrænser i anden kvadrant en punktmængde M der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

Jeg laver selvfølgelig en graf inde på geogebra, hvor jeg skal tage udgangspunkt i trekanten (det afgrænsede område, selvom der faktisk er to). Her ligger y=-3x "ovenpå" funktionen. Hvad angår grænserne har jeg prøvet at indsætte i formlen og trække dem fra hinanden, men jeg får desværre ikke samme resultat som facit, hvilket er M = 14,98. Jeg får det til M = -21,021 = 21,021, hvor jeg anvender følgende grænser (0;1,30). Hvad gør jeg forkert - det sikkert mine grænser?

På forhånd tak :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. juli 2014 af mathon

Fællespunkters førstekoordinater for x ≤ 0:

$x=\left\{\begin{matrix} -\frac{1+\sqrt{13}}{2}=\alpha \\ 0 \end{matrix}\right.$

$Areal=\int_{\alpha }^{0}\left (3x^3+3x^2-9x \right )dx=\left [ \frac{3}{4}x^4+x^3-\frac{9}{2}x^2 \right ]_{\alpha }^{0}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. juli 2014 af mathon

hvoraf $\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! Areal=-\left ( \frac{3}{4}\alpha ^4+\alpha ^3-\frac{9}{2}\alpha ^2 \right )=-\left ( \frac{3}{4}\cdot \left ( -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right )^{4}+\left ( -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right )^{3}-\frac{9}{2}\cdot \left ( -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right ) ^2\right ) \right )\approx 14,994$

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. juli 2014 af mathon

rettelse af tastefejl:
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! Areal=-\left ( \frac{3}{4}\alpha ^4+\alpha ^3-\frac{9}{2}\alpha ^2 \right )=-\left ( \frac{3}{4}\cdot \left ( -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right )^{4}+\left ( -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right )^{3}-\frac{9}{2}\cdot \left ( -\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right ) ^2\right ) \right )\approx 14,98}4$

Svar #4
31. juli 2014 af MLittau (Slettet)

Mange tak mathon :-)

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. juli 2014 af mathon

korrektion:

Fællespunkters førstekoordinater for (-13/4) < x ≤ 0:

$x=\left\{\begin{matrix} -\frac{1+\sqrt{13}}{2}=\alpha \\ 0 \end{matrix}\right.$

Svar #6
31. juli 2014 af MLittau (Slettet)

Har lige et spørgsmål til en anden opgave: Integrerer jeg denne funktion rigtigt? f(x)=x²+16/x², x > 0

Mit bud: 1/3x³+16/1/3x³

Grafen for f afgrænser sammen med linjen med ligningen y=17 en punktmængde M der har et areal.

Jeg får at x = 2 ved at isolere x fra funktionen? Får nemlig et andet areal, men facit siger 18?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #7
31. juli 2014 af mathon

$\int_{0}^{ }\left (x^2+\frac{16}{x^2} \right )dx=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{x}\; \; \; \; x> 0$

Svar #8
31. juli 2014 af MLittau (Slettet)

#7 Du mener vel plus i stedet for minus? Desuden når jeg indsætter at x = 2, så giver det mig et areal på 10,66667?

Brugbart svar (0)

Svar #9
31. juli 2014 af mathon

for

$f(x)=x^2+\frac{16}{x^2}\; \; \; og\; \; \; g(x)=17\; \; \; \; x> 0$
har du
$f(x)= g(x)\; \; \; \; x> 0$

$f(x)- g(x)=0\; \; \; \; x> 0$

$x^2+\frac{16}{x^2}-17=0\; \; \; \; x> 0$

$x^4-17x^2+16=0\; \; \; \; x> 0$
som for
z = x² giver

$z^2-17z+16=0\; \; \; \; z> 0$

$z=\left\{\begin{matrix} 1\\16 \end{matrix}\right.$

og dermed
$x=\left\{\begin{matrix} 1\\4 \end{matrix}\right.$

Svar #10
31. juli 2014 af MLittau (Slettet)

Ja, det er jeg enig med dig i, og forstår godt denne del. Når jeg sætter f(x)=y, altså: f(x)=x²+16/x²=17, så får jeg det til x = -1, x=-4 eller x=1 og x=4. Mit problem er, at jeg ikke forstår, hvordan du integrerer funktionen til #7 - jeg forstår godt det første led, men ikke det sidste - hvordan får du det til x, når funktionen er angivet i x²? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #11
31. juli 2014 af mathon

Arealet af M
$A_M=\int_{1}^{4}\left ( g(x)-f(x) \right )dx=\int_{1}^{4}\left (17- x^2-\frac{16}{x^2} \right )dx=$

$\left [17x-\frac{1}{3}x^3+\frac{16}{x} \right ]_{1}^{4}=17\cdot 4-\frac{1}{3}\cdot 4^3+\frac{16}{4} -\left (17\cdot 1-\frac{1}{3}\cdot 1^3+\frac{16}{1} \right )=$

$68-\frac{64}{3}+4-\left (17- \frac{1}{3}+16 \right )=72-\frac{64}{3}-33+\frac{1}{3}=39-21=18$

Brugbart svar (0)

Svar #12
31. juli 2014 af mathon

#10

$\int _{0}\left ( x^2+\frac{16}{x^2} \right )dx=\int _{0}\left ( x^2+16x^{-2} \right )dx=\frac{1}{3}x^3-16x^{-1}=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{x}$

..............
detaljer:

$\int k\cdot \frac{1}{x^2}dx=k\cdot \int x^{-2}dx=k\cdot \frac{1}{-2+1}\cdot x^{-2+1}=k\cdot \left ( -1 \right )\cdot x^{-1}=-k\cdot \frac{1}{x}=-\frac{k}{x}$

Svar #13
31. juli 2014 af MLittau (Slettet)

Mange mange tak for det :-)

Skriv et svar til: Fejlen?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.