Fysik
Udled Keplers 3.lov ud fra Newtons love
20. december 2005 af
izi (Slettet)
Hejsa... jeg skal udlede keplers love ud fra Newtons love. Matematisk ved jeg NOGENLUNDE hvordan og hvorledes, men kan ikke rigtig forklare det.
Nogen som kunne gennemgå dette med mig? :)
tak på forhånd.
izi
Nogen som kunne gennemgå dette med mig? :)
tak på forhånd.
izi
Svar #1
27. december 2005 af fixer (Slettet)
Der er _mange_ måder at angribe sagen på. For at undgå at anvende begreber, du ikke er bekendt med, er det nemmeste at du her beskriver din strategi.
En skitse til hvorledes loven kan udledes alene ved gymnasiestof kunne være:
Betragt en plan bevægelse af en partikel, hvis position er givet ved de polære koordinater (|r|,v) og som er påvirket af kraften
F = -km/|r|²*(r/|r|)
hvor m er partiklens masse, r radiusvektor og k en postiv konstant.
1. Definer enhedsvektorerne for det polære system
e_r = (cos(v),sin(v))
e_v = (-sin(v),cos(v))
hvor vinklen v=v(t) er en funktion af tiden t.
Vis at:
de_r/dt = dv/dt*e_v
de_v/dt = -dv/dt*e_r
2. Idet partiklens position beskrives ved stedvektoren r = |r|e_r, vis da at partiklens acceleration er
d²r/dt² = e_r(d²|r|/dt²-|r|(dv/dt)²) + e_v(1/r)*d(|r|²dv/dt)/dt
3. Bevis, at h=|r|²dv/dt er konstant, og at h/2 er et mål for det areal, radiusvektor bestryger per tidsenhed (arealhastigheden).
Hermed er Keplers 1. lov bevist.
4. Vi overspringer redegørelsen for, at partikelbevægelsen er et keglesnit (men dette kan let vises ved videre regning) og antager nu, at bevægelsen er en ellipse.
Udnyt de to resultater fra 3 til at bestemme omløbstiden T som forholdet mellem ellipsens areal og arealhastigheden. Vis at
T²/a³ = 4pi²/k
Vink: Udnyt at arealet af en ellipse med halve storakse a og excentricitet e er pi*a²sqrt(1-e²).
En skitse til hvorledes loven kan udledes alene ved gymnasiestof kunne være:
Betragt en plan bevægelse af en partikel, hvis position er givet ved de polære koordinater (|r|,v) og som er påvirket af kraften
F = -km/|r|²*(r/|r|)
hvor m er partiklens masse, r radiusvektor og k en postiv konstant.
1. Definer enhedsvektorerne for det polære system
e_r = (cos(v),sin(v))
e_v = (-sin(v),cos(v))
hvor vinklen v=v(t) er en funktion af tiden t.
Vis at:
de_r/dt = dv/dt*e_v
de_v/dt = -dv/dt*e_r
2. Idet partiklens position beskrives ved stedvektoren r = |r|e_r, vis da at partiklens acceleration er
d²r/dt² = e_r(d²|r|/dt²-|r|(dv/dt)²) + e_v(1/r)*d(|r|²dv/dt)/dt
3. Bevis, at h=|r|²dv/dt er konstant, og at h/2 er et mål for det areal, radiusvektor bestryger per tidsenhed (arealhastigheden).
Hermed er Keplers 1. lov bevist.
4. Vi overspringer redegørelsen for, at partikelbevægelsen er et keglesnit (men dette kan let vises ved videre regning) og antager nu, at bevægelsen er en ellipse.
Udnyt de to resultater fra 3 til at bestemme omløbstiden T som forholdet mellem ellipsens areal og arealhastigheden. Vis at
T²/a³ = 4pi²/k
Vink: Udnyt at arealet af en ellipse med halve storakse a og excentricitet e er pi*a²sqrt(1-e²).
Skriv et svar til: Udled Keplers 3.lov ud fra Newtons love
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.