Matematik

Differentiation

21. oktober 2014 af Kachoot (Slettet) - Niveau: A-niveau

Er der en som lige kan forklare hvordan jeg kommer fra x til x´ og til x´´ ?

$x=rcos\theta +l(1-\frac{\lambda ^{2}}{2}sin^{2}\theta )$

${x}'=-r\omega (sin\theta +\frac{\lambda}{2}sin2\theta )$

${x}''=-r\omega^{2} (cos\theta+\lambda cos2\theta )$

Brugbart svar (1)

Svar #1
21. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man benytter at ω = dθ/dt .

Så har man med θ som den eneste tidsafhængige størrelse, at

dx/dt = r·(-sin(θ))·(dθ/dt) - l·(λ²/2)·2·sin(θ)·cos(θ)·(dθ/dt)

= -r·ω·sin(θ) - l·(λ²/2)·sin(2θ)·ω .

Det ser ud til at hvis l·λ = r , kommer man så frem til udtrykket for x' .

Derefter skulle det være ligetil at differentiere en gang mere.

Svar #2
21. oktober 2014 af Kachoot (Slettet)

Jamen hvordan forsvinder cos(θ) ?

Brugbart svar (1)

Svar #3
21. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det forsvinder da ikke, Man benytter, at sin(2θ) = 2·sin(θ)·cos(θ) .

Svar #4
21. oktober 2014 af Kachoot (Slettet)

Nåh ja den regneregel havde jeg lige glemt.

Kan du også vise hvordan man får x´´?

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det følger helt simpelt af

x' = -r·ω·sin(θ) - r·(λ/2)·sin(2θ)·ω

hvoraf

x'' = -r·ω²·cos(θ) - r·λ·cos(2θ)·ω² = -r·ω²·(cos(θ) + λ·cos(2θ)) .

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. oktober 2014 af mathon

${x}'=-r\omega (sin\theta +\frac{\lambda}{2}sin2\theta )$

$x{\, }''=-r\omega \left ( \cos(\theta ) \cdot \omega +\lambda \cdot \cos\left ( 2\theta \right )\cdot \omega \right )=-r\omega ^2\left ( \cos(\theta )+\lambda \cdot \cos(2\theta ) \right )$

Svar #7
21. oktober 2014 af Kachoot (Slettet)

ok jeg kan se at du bruger produktreglen en del gange men bruger du på noget tidspunkt kædereglen?

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Teknisk set bruger man reglen om differentiation af en sammensat funktion (kædereglen) når man differentierer sin(2θ), idet

(sin(2θ))' = cos(2θ)·(2θ)' = 2·cos(2θ)·θ' = 2·cos(2θ)·ω .

Derimod bliver produktreglen vist ikke brugt.

Svar #9
21. oktober 2014 af Kachoot (Slettet)

Hmm ja det kan jeg godt se nu.

Jeg har lige et spørgsmål mere.

Hvordan kan jeg vise at

$x=r\cdot cos\theta +(l^{2}-r^{2}\cdot sin^{2}\theta )^{1/2}$

kan skrives som

$x=r\cdot cos\theta +l\cdot \sqrt{1-\lambda ^{2}\cdot sin^{2}\theta }$

hvor

$\lambda =\frac{r}{l}$

$l\cdot sin\phi =r\cdot sin\theta$

$\theta =\omega\cdot t$

ved t=0 er θ=0

og λ<1

Jeg kan naturligvis illustrere dette grafisk men hvordan kan jeg gøre det matematisk?

Brugbart svar (1)

Svar #10
21. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Sæt l² uden for kvadratroden og benyt, at (r/l)² = λ² .

Brugbart svar (1)

Svar #11
21. oktober 2014 af mathon

dvs
$r^2=l^2\lambda ^2$

Svar #12
21. oktober 2014 af Kachoot (Slettet)

tusind tak for hjælpen!

Skriv et svar til: Differentiation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.