Matematik
Grafer og differentialkvotienter
Hej allesammen
Jeg sidder her med opgave, som jeg ikke kan komme videre med. Øvelse 1 har jeg ingen problemer med, men det er opgave 2) og 3) som jeg har lidt svært ved:
2):
En konkav graf er en graf, eller en del af en graf, hvor grenene vender nedad, og modsat med konvekse grafer. Men hvordan finder man ud af, i hvilke intervaller en graf er konkav/konveks hvis man kun har en funktion af gå ud fra. Og hvordan VISER jeg, at en graf kan være konkav og konveks i forskellige intervaller?
3):
Jeg ved ikke om udnyttelse af 2. afledede funktion er obligatorisk pensum, men jeg har aldrig arbejdet med det før. Så hvordan anvendes 2. afledede funktioner til bestemme krumninger og vendetangenter?
Håber i kan hjælpe!
Svar #1
26. november 2014 af LeonhardEuler
Her får du en del af noget større, som jeg skreve engang i 1.g. Jeg har ikke læst det igennem - men jeg forventer at det er korrekt.
Hvis en differentiabel funktion f(x) differentieres fås hældningsfunktionen for tangenten gennem (x,f(x)), Hældningen er et udtryk for hvor meget funktionen vokser med pr. x enhed i det pågældende punkt.
Ligeledes må den den afledede af f '(x) dvs. f ' f '(x) = f ''(x) angive hvor meget f '(x) vokser i punktet (x,f(x)). Man kan udtrykke det som, at f ''(x) angiver hvor meget grafen krummer.
Ud fra montonisætningen fåes
når f ''(x) er positiv, er f '(x) voksende.
når f ''(x) er negativ, er f '(x) aftagende.
Ydermere vides det at når punktet x0 er et lokalt eller globalt maksimum for f '(x) , eksisterer et interval I omkring x0, således at f '(x0) er den største funktionsværdi i intervallet.
f '(x) ≤ f '(x0) for ∀x ∈ I
Hvis punktet x0 er et lokalt eller globalt minmum for f '(x), eksisterer ligeledes et interval I omkring x0, således at f '(x0) er den mindste funktionsværdi i intervallet.
f '(x) ≥ f '(x0) for ∀x ∈ I
Disse punkter findes netop ved at løse ligningen f ''(x) = 0.
Netop ved løsningerne til f ''(x) = 0 siges det, at der eksisterer et vendepunkt. Et punkt, hvorpå grafen for f går fra at krumme nedad til at krumme opad eller omvendt. Det ses netop, at går man imod x0, hvor x0 ∈ løsningsmænden for f ''(x) = 0, vil tangenternes hældningerne enten blive udelukkende mindre eller udelukkende større indtil x0. I x0 fåes enten den største eller mindste tangenthældning for tangenterne i et interval I. Lader man bevæge sig væk x0 sker det modsatte, hvorpå at tangenthældningerne enten bliver udelukkende større eller udelukkende mindre.
I punktet x0 hvor der netop fåes et vendepunkt og tangenten til dette punkt kaldes for en vendetangent. Det siges at en funktion krummer enten nedad eller opad indtil vendepunktet, hvorpå funktion begynder at krumme modsat.
Ved at netop af løse f ''(x) = 0 fåes også vendetangenterne til f(x) og hvis et x tilhørende løsningsmængden for f '(x) = 0, også tilhører løsningsmængden for f ''(x) = 0, kaldes det netop for en vandret vendetangent.
Man kan altså sige at en funktion er konveks i et interval J,
når f ''(x) ≥ 0 , hvor x∈J
og at en funktion er konkav i et interval J,
når f ''(x) ≤ 0 , hvor x∈J
Hvis der for en funktion f(x), ønskes alle lokale ekstremaer og vandrette vendetangenter, undersøges løsningerne til f '(x) = 0.
og for disse løsninger må der ydermere gælde
hvis løsningen er et maksimum, er f ''(x) < 0
hvis løsningen er et minimum, er f ''(x) > 0
hvis løsningen er en vandret vendetangent, så er f ''(x) = 0
Svar #4
26. november 2014 af Gandhara (Slettet)
#3
Takker :-)
Men du må simpelthen forklarer mig den med "...vis at en graf kan være konkav eller konveks set over forskellige intervaller".
Den kan jeg ikke gennemskue pbga. dine noter :-/
Svar #5
26. november 2014 af LeonhardEuler
Det er nu ikke noter. Lidt simplificeret kan man sige,at
en funktion er konveks i et område hvis f ''(x) ≥ 0 i det område. Det vil sige, hvis den dobbeltafledede funktion er positiv (eller lig med 0) i det område, vil grafen være konveks i det område.
en funktion er konkav i et område hvis f ''(x) ≤ 0 i det område. Det vil sige, hvis den dobbeltafledede funktion er negativ (eller lig med 0) i det område, vil grafen være konkav i det område.
Skriv et svar til: Grafer og differentialkvotienter
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.