Matematik

tangent - vektor

28. november 2014 af Sneharusha (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har virkelig problemer med b'eren i denne opgave?

Vedhæftet fil: Screen Shot 2014-11-28 at 11.11.53.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. november 2014 af mathon

hastighedvektoren v(t) er retningsvektor for tangenten

$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \vec{r}(t)}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} r\cdot (1-\cos(t))\\ r\cdot \sin(t) \end{pmatrix}$

en retningsvektor for y-aksen er
$\vec{j}=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$

når, vinklen mellem mellem tangenten og y-aksen kaldes $\varphi$
haves
$\cos(\varphi) =\frac{\vec{v}(t)\cdot \vec{j}}{\left | \vec{v}(t) \right |}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. november 2014 af mathon

$\left | v(t) \right |^2=r^2(1-\cos(t))^2+r^2\cdot \sin^2(t)=r^2\left ( 1-2\cos(t)+\underset{=1}{\underbrace{\cos^2(t)+\sin^2(t)}} \right )=$

$r^2\left ( 2(1-\cos(t)) \right )=2^2r^2 \cdot \sin^2\left ( \frac{t}{2} \right )$

$\left | v(t) \right |=2r\sin\left (\frac{t}{2} \right )$

dvs
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cos(\varphi) =\frac{\begin{pmatrix} r(1-\cos(t))\\ r\sin(t) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}}{2r\sin\left ( \frac{t}{2} \right )}=\frac{r\sin(t)}{2r\sin\left ( \frac{t}{2} \right )}=\frac{2r\sin\left ( \frac{t}{2} \right )\cos\left ( \frac{t}{2} \right )}{2r\sin\left ( \frac{t}{2} \right )}=\cos\left ( \frac{t}{2} \right )$

hvoraf
$\varphi =\frac{t}{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. november 2014 af mathon

anvendt er:
$\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$
.

$\cos(t)=1-2\sin^2\left ( \frac{t}{2} \right )$
$1-\cos(t) =2\sin^2\left ( \frac{t}{2} \right )$

$2\left (1-\cos(t) \right )=2^2\sin^2\left ( \frac{t}{2} \right )$

.
$\sin(t)=2\sin\left ( \frac{t}{2} \right )\cos\left ( \frac{t}{2} \right )$

Svar #4
28. november 2014 af Sneharusha (Slettet)

Hvorfor siger man |v(t)|²?

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. november 2014 af mathon

$\cos(\varphi) =\frac{\vec{v}(t)\cdot \vec{j}}{\left | \vec{v}(t) \right |\cdot \left | \vec{j} \right |}=\frac{\vec{v}(t)\cdot \vec{j}}{\left | \vec{v}(t) \right |\cdot 1}=\frac{\vec{v}(t)\cdot \vec{j}}{\left | \vec{v}(t) \right |}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. november 2014 af mathon

|v(t)|²fritager dig for at skrive kvadratrodstegnet adskillige gange.

Skriv et svar til: tangent - vektor

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.