Matematik

Vektorer

30. januar 2015 af Kasandrajuliet (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa.. Jeg har en opgave som lyder:

Punktet H ligger på linjen gennem A og C så BH⊥AH og koordinatterne til punkterne er A(-2,1) B(3,-1) og C(1,-2)

Bestem koordinatsætte til H.

Hvordan gør jeg det? Er lidt blank for det jeg har prøvet giver ikke det rigtige resultat (facit: H(3/2,-5/2))

Brugbart svar (1)

Svar #1
30. januar 2015 af PeterValberg

Bestem en ligning for den rette linje gennem punkterne A og C

Se eventuelt video nr. 4 på denne videoliste fra FriViden.dk [ LINK ]

Bestem koordinatsættet for punktet C's projektion på linjen gennem A og C,
det er nemlig punktet H

Se video nr. 27 på denne videoliste fra FriViden.dk [ LINK ]

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #2
30. januar 2015 af PeterValberg

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Svar #3
30. januar 2015 af Kasandrajuliet (Slettet)

Ok Jeg har bestem linjens ligning til lingen g

0,5x-y+11=0

Og normalvektoren til linje g

$\overrightarrow{n}=\binom{0,5}{-1}$

og da normalvektorern er det samme som retningsvektoren, så kan vi bestemme en parameterfremstilling for linjen m, som står vikleret på linjen g

$\binom{x}{y}=\binom{-2}{1}+t*\binom{0,5}{-1}$

For at finde koordinatsætte til H, så finder vi skæringspunktet mellem de to linjer m og g...og der gælder

x=-2+0,5*t

y=1-1*t

dvs.

solve(0,5*-2+05*t-1-1*t+11=0) for t

Det får jeg at t = -7,2

Sætte det ind i parameterfremstillingen så får jeg koordinatet (-5,75;8,5)

mmmmhhh Hvor er det det galt for mig???

Svar #4
30. januar 2015 af Kasandrajuliet (Slettet)

Efter at jeg har regnet det igennem igen får jeg, den samme ligning for ligning. men når jeg så regner videre derfra så får jeg at t=0 og det kan jo ikke passe .... Den driller mig virkelig denne opgave, jeg kan ikke se hvor det går galt .... HJÆLP!

Svar #5
30. januar 2015 af Kasandrajuliet (Slettet)

Har fundet fjelen... brugt det forkerte punkt i parameterfremstillingen. TAK for din graf, var til stor hjælp :)

Brugbart svar (1)

Svar #6
30. januar 2015 af mathon

linjen indeholdende linjestykket AC
har ligningen
y=-x-1

$\overrightarrow{BH}=\begin{pmatrix} x-3\\y+1 \end{pmatrix}$ $\overrightarrow{AH}=\begin{pmatrix} x+2\\y-1 \end{pmatrix}\; \; \; \; \; (x,y)\neq (3,-1)\; \wedge \; (x,y)\neq (-2,1)$

da BH og AH skal være egentlige vektorer.

Den ønskede betingelse
BH ⊥ AH kræver

$\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AH}=0$

$\begin{pmatrix} x-3\\y+1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x+2\\y-1 \end{pmatrix}=0\; \; \; \; \; (x,y)\neq (3,-1)\; \wedge \; (x,y)\neq (-2,1)$

$x^2+y^2-x-7=0\; \; \; \; \; (x,y)\neq (3,-1)\; \wedge \; (x,y)\neq (-2,1)$
samt, da H ligger på AC
y=-x-1

hvoraf
x^2+(-x-1)^2-x-7=0

$2x^2+x-6=0\; \; \; \; \; (x,y)\neq (3,-1)\; \wedge \; (x,y)\neq (-2,1)$

                                               $x=\left\{\begin{matrix} -2\\\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$        som indsat i   y=-x-1
giver

                                               $y=\left\{\begin{matrix} 1\\ -\frac{5}{2} \end{matrix}\right.$

dvs
$\begin{array} {|c|c|c|} x&y\\ \hline -2&1&maa\; forkastes \\ \hline \mathbf{\color{Red} \frac{3}{2}}&\mathbf{\color{Red} -\frac{5}{2}} &som\; er\; l\o sningen\end{array}$

           Det søgte punkt H
           er:
                                     $H=\left ( \frac{3}{2};-\frac{5}{2} \right )$

I overensstemmelse med illustrationen i #2.

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Liniestykket BH er højden fra B på AC i trekant ABC, og vektoren AH er projektionen af vektor AB på vektor AC . Derfor finder man umiddelbart en stedvektor til det søgte punkt H som

OH = OA + AH = OA + AB_AC = OA + (AB•AC/|AC|) AC/|AC|

= [-2;1] + ([5;-2]•[3;-3]/√(3²+3²)) [3;-3]/√(3²+3²)

= [-2;1] + ((15+6)/18) · [3;-3]

= [-2;1] + (7/2) · [1;-1]

= [ -2 + (7/2) ; 1 - (7/2)]

= [3/2 ; -5/2]

i overensstemmelse med beregningerne ovenfor. Her er vist en fremgangsmåde med vektorer, jvf. opgavens overskrift.

Skriv et svar til: Vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.