Matematik

Differentialligning

27. april 2015 af Tila91 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.
Opgaven lyder således:

Tabellen viser en opgørelse af antal fødedygtige ulvepar i en population af ulve i det centrale Idaho i 1996 og i 2007.

Årstal: 1996 2007
Antal fødedygtige ulvepar: 3 43

I en model for antal fødedygtige ulvepar N som funktion af tiden t (målt i antal år efter 1996) gælder det at:

dN/dt=a*N*(90-N).

a) Bestem forskriften for N

Som jeg har udregnet til N(t)=90/(1+29*e^-0,003311*90*t).

Men det er opgave b som jeg skal have hjælp til.

b) Benyt modellen til at bestemme den øvre grænse for antallet af fødedygtige ulvepar i det centrale Idaho, og benyt modellen til at bestemme det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af fødedygtige ulvepar er størst.

Har aflæst den øvre grænse til M=90 som jeg er ret sikker på er korrekt, men aner ikke hvad jeg skal gøre med denne væksthastighed.

Jeg tænker at jeg skal bestemme (dN/dt)'=0, men jeg ved ikke lige hvordan jeg bestemmer denne afledte funktion hverken vha. Cas-værktøj eller ved egen udregning?

Hjælp!

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. april 2015 af mathon

    dN/dt = a*N*(90-N)                 hvor højresiden er en faktoriseret andengradsligning i N
                                                   identisk med -aN^2+(90a)N
    med maksimum for toppunktets førstekoordinat:

                                                   $N=\frac{-(90a)}{2\cdot (-a)}=\frac{90}{2}$

hvoraf til tiden beregnet af:
$\frac{90}{2}=\frac{90}{1+29e^{-0,29799\cdot t}}$

$1+29e^{-0,29799\cdot t}=2$

$e^{-0,29799\cdot t}=\frac{1}{29}$

$e^{0,29799\cdot t}=29$

$0{,}29799\cdot t=\ln{29}$

$\mathbf{\color{Red} t}=\frac{\ln{29}}{0{,}29799}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
27. april 2015 af mathon

Jeg tænker at jeg skal bestemme $\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=0$ , men …

$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot (90-N)+aN\cdot \left ( -\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} \right )=a\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot (90-N-N)$
dvs

$\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=a\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot (90-2N)=0$ hvor $a\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}>0$
så
90-2N=0

$N=\frac{90}{2}$ som i det foregående
og tidberegningen foregå på samme måde.

Brugbart svar (1)

Svar #3
27. april 2015 af mathon

tidspunktet, hvor væksthastigheden for antallet af fødedygtige ulvepar er størst
er:
$\mathbf{\color{Red} t}=\frac{\ln{(29)}}{0{,}29799}$

Svar #4
27. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Ah 1000 tak.

Jeg har en anden opgave, hvis du vil hjælpe med den vil jeg blive glad.

Den er vedhæftet og jeg udregner i opgave 15a at vinkel A = 44,42 grader.

Så i opgave b aner jeg ikke helt hvad jeg skal gøre men jeg tror jeg skal anvende formlen: T=1/2*b*c*sin(A), hvor b=x og c=6-y i dette tilfælde og A er 44,42 grader.

og når jeg indsætter dette så får jeg at arealet for trekanten ADE er bestemt til T=3x-sin(44,42)*(-7x^2+60x-252)/10x-84

Er det korrekt eller helt forkert?

Vedhæftet fil:IMG_2884 kopi.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #5
27. april 2015 af mathon

$\cos(A)=\frac{5}{7}$

$\sin(A)=\sqrt{1-\cos^2(A)}=\sqrt{1-\frac{25}{49}}=\frac{\sqrt{24}}{7}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. april 2015 af mathon

$A_{\bigtriangleup ADE}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (6-y)\cdot \sin(A)$

$A_{\bigtriangleup ADE}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \left(6-\frac{-7x^2+60x-252}{10x-4}\right)\cdot \frac{\sqrt{24}}{7}$

$A_{\bigtriangleup ADE}=\frac{\sqrt{24}}{14}\cdot \left(\frac{7x^3+228x}{10x-4}\right)$

Svar #7
27. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Men cos(A) giver 44,42 grader, hvorfor kan de ikke bare indsættes i sinus? altså sin(44,42)?

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. april 2015 af mathon

Fordi det er et afrundet resultat.

Svar #9
27. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Så hvis jeg indsætter hele værdien af vinklen ind, så kan jeg godt bare benytte det tal?

Brugbart svar (0)

Svar #10
27. april 2015 af mathon

Brug
$\cos(A)=\frac{5}{7}$

$\sin(A)=\frac{\sqrt{24}}{7}$

Svar #11
27. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Mh okay. Mange tak for hjælpen i hvert fald :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
27. april 2015 af mathon

Du skal nu løse
$\left ( \frac{\sqrt{24}}{14}\cdot \left(\frac{7x^3+228x}{10x-4}\right)\right ){}'=0\; \; \; \; \; \; 0<x<6\; \wedge \; x\neq 0{,}4$

for at finde maksimalt trekantsareal.

Svar #13
27. april 2015 af Tila91 (Slettet)

Jeg skal til og i skole nu her og afleveringen skal afleveres i dag, så må give min lærer det jeg har og så må han forklare mig det senere, når han har rettet opgaven. Men i hvert fald tak mathon. Du er en god hjælp :)

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.