Matematik
Maksimale lodrette afstand mellem to funktion (HF Matematik B, Juni 2014)
Kære dem som måtte kigge med.
Jeg er støt på en forhindring i en opgave, som figurerer i et eksamenssæt fra Juni 2014.
Det omhandler opgave 13b for at være mere specifik. Opgaven lyder således:
Figur 1 og 2 viser graferne for funktionerne f(x)=x og g(x)=x^3.
Funktionen h(x)=x-x^3 og beskriver for 0≤x≤1 den lodrette afstand mellem de to grafer.
Opgave a)
Bestem den lodrette afstand (se figur 1) mellem de to grafer, når x=0,8
Opgaven er løst ved at indsætt h(0,8) og dermed beregne afstanden.
Opgaven b)
Bestem den maksimale lodrette afstand mellem de to grafer i intervallet 0≤x≤1
Opgave c)
Bestem alreaet af det område, der afgrænses mellem de to grafer i intervallet 0≤x≤1
Opgaven er løst ved bestemte intergrale i de angivne intervaller.
Mit spørgsmål går på opgave b.
Jeg har forsøgt at differentiere h(x), men er ikke sikker på om det er rigtigt. Jeg ønsker ikke facit, andet end at det selvfølgelig ville være lækkert, men hellere metoden som er brugt og en forklaring på hvert trin, så jeg kan komme med en fornuftig konklusion.
På forhånd tak
Den fortvivlede.
Svar #2
13. februar 2016 af dspetersen (Slettet)
Jeg vil hjertens gerne have uddybet processen. Fra hvad du tænker, når du ser opgaven til hvordan du fortolker metoden og resultaterne. Jeg kan se, at den rigtige vej var differentiering, og jeg havde selv haft en tanke omkring monotomi forhold og deres ekstemum, men kan ikke se hvorfor ekstremum kræver h'(x)=0 ?
Svar #3
13. februar 2016 af Stats
Maksimum og minimum afgøres ved differentialregning. Differential regning benyttes jo, fordi man er interessert i en given hældning. Man er altså interesseret i hvornår funktionen går fra voksende til aftagende. Dette punkt er et maksimum og er derfor den største lodrette afstand mellem de to funktioner.
Mvh Dennis Svensson
Svar #4
13. februar 2016 af mathon
Monotonien for h(x) er bestem af fortegnsvariationen for h'(x).
Når fortegnsvariationen
for
h'(x) er - 0 + har h(x) lokalt/globalt minimum
h'(x) er + 0 - har h(x) lokalt/globalt maksimum
Svar #6
13. februar 2016 af dspetersen (Slettet)
Okay så en besvarelse kunne lyde ala følgende:
Differentiere h(x)=x-x^3
Dvs h'(x)=1-3x^2
Indsætter 0=1-3x^2 og afgører x-værdien for den maksimale lodrette afstand
Solve(0=1-3x^2,x)
x= √3/3
Indsætter x=√3/3 i h(x)
h(√3/3)=√3/3-(√3/3)^3 = (2*√3)/9 = 0,385
Derfor er den maksimale lodrette streg mellem funktionerne bestemt til 0,385 ?
Svar #8
13. februar 2016 af Stats
Hvis du bare skal beskrive hvordan man kommer frem til resultatet, så vil jeg stærkt fraråde dig til at lade være med at skrive Solve(...) og i stedet bruge termer fra matematik undervisningen..
Mvh Dennis Svensson
Svar #9
13. februar 2016 af dspetersen (Slettet)
Det er en skriftlig aflevering, hvor løsninger som solve er godtaget. Det bliver ikke godtaget ved mundtlig præsentation, hvor der derved skal benyttes alm. matematiske termer.
Kan du bidrage med, hvordan du ville præsentere det? Jeg er ikke interesseret i løsningen (facit), men processen og konklusionen undervejs. Jeg har stadigvæk problemer med at "se det for mig" hvorfor det helt konkret hænger sådan sammen. Jeg har ikke tidligere fået en tilsvarende opgave, med denne type formulering, og er derfor i tvivl.
Jeg ville virkelig prissætte det, hvis du gad og give dit besyv med i hvordan du ville præsentere det og gerne med tekst, hvis det ikke er til for meget ulejlighed.
Med venlig hilsen
Daniel
Svar #10
13. februar 2016 af Soeffi
#9 Forslag:
For at finde den største lodrette afstand skal man løse h'(x) = 0 med hensyn til x for 0 ≤ x ≤ 1, og vise at h(x) har maximum for dette x.
Man differentierer først h(x): h'(x) = 1 - 3x2. Man løser dernæst h'(x) = 0: 1 - 3x2 = 0 <=> 3x2 = 1 <=> x = ±1/√3 => x = 1/√3, for 0 ≤ x ≤ 1. Endelig viser man, at h(x) har maksimum for x = 1/√3. Det følger af, at h'(x) er positiv før og negativ efter nulpunktet, hvilket kan vises ved indsættelse: h'(0) = 1 > 0, og h'(1) = -2 < 0.
Maksimumafstanden er: h(1/√3) = 1/√3 - (1/√3)3 = (1 - 1/3)/√3 = 2/(3√3) = 0,385
Skriv et svar til: Maksimale lodrette afstand mellem to funktion (HF Matematik B, Juni 2014)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.