Differentialligning af højere orden

Det er lidt svært, at vide hvad dine forudsætninger er, men jeg håber, at følgende giver mening:

Din differentialligning en fjerde ordens homogen lineær differentialligning med konstante koefficienter. Der er så noget teori om differentialligninger der siger, at i sådan et tilfælde så danner løsningerne et vektorrum (kaldet løsningsrummet). Den samme teori siger, at fordi ligningen er af orden fire så har løsningsrummet dimension 4. For at angive samtlige løsnigner kan du derved angive fire lineært uafhængige løsninger, idet alle andre løsninger så vil være linear kombinationer af disse fire.

Du har fundet exp(it), exp(-it) som er løsninger (hvis ellers du har regnet rigtigt. Det har jeg ikke tjekket). Men exp(it) og exp(-it) udspænder kun et to dimensionalt vektorrum (over C). Du skal altså finde to løsninger mere til differentialligningen og de skal være lineært uafhængige fra exp(it) og exp(-it). At sådanne to løsninger kunne være t·exp(it) og t·exp(-t) kan man så vise på forskellige måder (f.eks. ved at tjekke efter). Den måde jeg har set det udledt på er ved at omskrive ligningen til et system af 1. ordens homogene lineærer differentialligninger og så kigge på eksponentialfunktionen af en matrx. Hvis ikke I har været det igennem, så bør du nok kigge i din bog eller foreløsningsnoter hvor de sikkert har angivet hvad man gør i tilfælde af at en rod til det karakteristiske polynomium har multiplicitet skarpt større end 1 (i dette tilfælde 2).

Tak, det gav god mening.. Jeg har blot kigget lidt på at hvis man har en dobbeltrod, så skal løsningen blot være 

 osv.