en harmonisk bevægelse

x(t) = Asin(ωt+β)

hvor
x(t) er udslaget til tiden t
A er amplituden
ω er vinkelhastigheden (2π/T)
β er begyndelsesfasen

#1

Ja det er en god funktion, men skal vi ikke sætte turbo på mathon, som du plejer at sige til mig og udvide begrebet lidt og relatere det til Newtons 2. lov (masse * acceleration = kraften), der jo kan skrives som en differentialligning. De er så vigtige, fordi meget i naturen består af svingninger på den ene eller den anden måde fra man sidder på sin gynge som lille til man sidder i sin gyngestol som pensionist.

Så Newtons lov ser således ud (når vi kalder den resulterende kraft for k*y (y er jo bare en generel benævnlse for 2. aksen), så vi får m*y'' = -k*y, hvor k er en positiv konstant. Denne differentilligning har den fuldstændige løsning ( og det er et længere bevis):

y(t) = A*cos(ω₀*t) + B*sin(ω₀*t), hvor ω₀ = (√k/m) kvadratrodstegnet over begge konstanter, hele brøken)

Den kan godt skrives på en mere kompakt måde, men det er ikke nødvendigt.

...jeg har lagt op til "den kompakte måde", som er den fysisk set lettest håndterbare...

x(t) = Acos(ωt+φ_o)

med
v(t) = -ωAsin(ωt+φ_o)
a(t) = -ω²Acos(ωt+φ_o)

hvoraf
x_o = Acos(φ_o) ⇔ cos(φ_o) = x_o/A
v_o = -ωAsin(φ_o) ⇔ sin(φ_o) = -v_o/(ωA)

som giver
cos²(φ_o) + sin²(φ_o)  = 1 = x_o²/A²  +  v_o²/(ω²A²)

samt

A² = x_o² + (v_o/ω)² ⇔ A = (x_o² + (v_o/ω)²)^0,5
og
tan(φ_o) = -v_o/(ωx_o)

Ja ok, så er det vist på plads