Matematik
Opstilling af differentialligning
Har fået stillet følgende opgave:
Når et varmt metalstykke anbringes i kolde omgivelser, afkøles det. I det følgende antages det, at omgivelsernes temperatur er konstant. Metalstykkets temperatur y, målt i celcius grader, er en funktion af tiden t, målt i sekunder. Under passende forudsætninger sker afkølingen på en sådan måde, at den hastighed, hvormed metalstykkets temperatur aftager, er proportional med forskellen mellem metalstykkets temperatur y og omgivelsernes temperatur yo. Proportionalitetsfaktoren k afhænger af metalstykkets art.
a) Opskriv en differentialligning, der beskriver, hvorledes metalstykkets temperatur ændrer sig under afkølingen.
b) Efter 4 minutter er temperaturen 150 grader. Efter yderligere 4 min. er metallets temperatur 127 grader. Hvor varmt var metallet oprindeligt?
Er der nogen der har nogle ideer til hvordan opgaven skal gribes an?
Svar #1
02. december 2008 af Erik Morsing (Slettet)
a) dy/dt = -k*(y(0) - y0), k>0
b) find først dengenerelle differentialligning, så kan du sætte initial conditions ind.
Svar #2
02. december 2008 af kokod (Slettet)
Tak for svaret.
Jeg er dog stadig ikke sikker på hvad du mener. Hvad skal jeg gøre med den ligning?
Svar #4
04. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#3
I b) benytter man de specifikke oplysninger til at fastlægge konstanterne i den generelle løsning. De specifikke oplysninger er
y(4) = 150 og y(8) = 127 .
Bemærk, at differentialligningen i #1 er forkert. Det skal være
dy/dt = -k·(y - yo)
Svar #5
24. januar 2015 af charlotte2909 (Slettet)
150=20+ce^-4k .... ? Både c og k er ubekendt ..
Svar #6
24. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#5
Og der er to ligninger til at fastsætte disse to ubekendte.
Svar #7
25. januar 2015 af charlotte2909 (Slettet)
Svar #8
26. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#7
Man løser differentialligningen
dy/dt = -k·(y - yo)
der har den fuldstændige løsning
y = y0 + c·e-kt .
De to oplysninger y(4) = 150 og y(8) = 127 giver så
y0 + c·e-4k = 150
y0 + c·e-8k = 127
Kender man også y0 , kan man bestemme c og e-4k og dermed y(0) = y0 + c .
Skriv et svar til: Opstilling af differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.