Matematik

Differentialligning

10. januar 2009 af Christiane.k (Slettet)

Kan følgende opgave løses på følgende måde?

Opgave:
Vand løber ud af en beholder gennem et hul i bunden. Når der er vand i beholderen, vil det løbe ud gennem hullet.  Den hastighed, hvormed vandhøjden i beholderen ændrer sig, er til ethvert tidspunkt proportional med kvadratroden af vandhøjden.
Opstil en differentialligning, der beskriver situationen:

y(t) = y ' (t) * √(h)

Hvor y ' er hastigheden hvormed vandhøjden i beholderen ændrer sig, og h er vandhøjden. Eller hvordan?

Det er ikke en opgave der skal afleveres, blot en jeg øver mig på, håber derfor nogen vil hjælpe.

Mvh. Christiane.


Brugbart svar (0)

Svar #1
10. januar 2009 af mathon

                                                       d(h)/dt = k*√(h)


Brugbart svar (0)

Svar #2
10. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)

OK så lad os tage en ganske almindelig husholdningstragt. Det rumfang vnd, der render ud kan beskrives sådan her: ΔV=0,3*(√2*g*h)*δt, så ændringen i vandvolumen bliver -π*r2*Δh. Δh e skrumpningen i højden h(t) (tegn det op!! så kan du bedre se det). Minustegnet e selvfølgelig ordi der bliver mindr vand i tragten. Nu kommer der nogle trigononometriske betragtninger, idet radius i vandoverfladen r=h*tan(v), v er den skrå vinkel, så vi får volumenændringen ΔV*=-π*h2/3*Δh. Når du nu sammenligner udtrykkene for ΔV og ΔV*, altå sætter dem lig hinanden så får du:

0,3*(√2*g*h)*Δt=-π/3*h2*Δh >=> dh/dt=-k*h(-3/2) forΔh gående mod 0. Hvorfor nu faktoren 0,3? Ja den er foreslået af Evangelista Torricelli (1608 - 1647), en italiensk fysiker. Den er en kontraktionsfaktor. Prøv at lægge mærke til, når du tænde en vandhane, hvordan vandet nævrer sig sammen. De skyldes (så vidt jeg huisker, men nu er jeg ikke god til kemi) brintbindingens særlige karakter. Så ret mig endelig casperado, hvis du finder noget forkert.

Du har nu din differentialligning.


Brugbart svar (0)

Svar #3
10. januar 2009 af mathon

præcisering af fortegn i #1

                                                   d(h)/dt = -k*√(h)  k>0


Brugbart svar (0)

Svar #4
10. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)

Hvor mathon?


Brugbart svar (0)

Svar #5
10. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)

Nåh ok, jeg troede det var til mig


Svar #6
11. januar 2009 af Christiane.k (Slettet)

Mange tak :)


Brugbart svar (0)

Svar #7
11. januar 2009 af Erik Morsing (Slettet)

ja ok, da der ikke var tale om nogen bestemt beholder konstruerede jeg blot eksemplet med tragten, den bruger man i enhver husholdning.


Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.