lineær og eksponentiel vækst

En lineær sammenhæng kan defineres som, en matematisk sammenhæng der kan beskrives med formlen y = a · x + b, hvor a og b er fast tal, konstanter.
Et eks. på en lineær sammenhæng kan være:
y = 0,7· x + 12
Afbildes en lineær sammenhæng, med sammenhørende værdier af x og y, i et koordinatsystem, vil man se, at punkterne ligger på en ret linje, der kaldes en graf for sammenhængen.
Når en lineær sammenhæng afbildes i et almindeligt koordinatsystem, og grafen for sammenhængen findes, vil a i ligningen være stigningstallet, også kaldet hældningskoefficienten, mens tallet b er linjens konstantled.
Netop tallet a bestemmer hældningen af linjen i den forstand, at når x vokser med 1, vil y blive a større. Hvis a er et positivt tal, bliver y-værdierne større når x vokser, hvilket bevirker, at den lineære sammenhæng anses for voksende. Hvis a derimod er et negativt tal, vil y-værdierne blive mindre når x vokser, og derved kan denne lineære sammenhæng betragtes som aftagende.
Når a er nul, vil man få samme y-værdi, dvs. b, uanset hvilken værdi x har, og dermed kan man konstatere at den lineære sammenhæng er konstant.
Tallet b angiver y-koordinaten til linjens skæringspunkt med ordinataksen. Ordinaten, ofte betegnet y, er andenkoordinaten i et (todimensionalt) koordinatsystem, hvor førstekoordinaten betegnes abscissen.
For at bestemme tallene a og b kan man bl.a. anvende en lommeregner, eller man kan anvende to specifikke formler, hvor man gøre brug af to koordinatpunkter.
I forbindelse med afbildning af en lineær sammenhæng i et almindeligt koordinatsystem, kan man nævne, at det endvidere er muligt at finde den bedste rette linje for den lineære sammenhæng via en lineær regression/regressionsanalyse. En regressionsanalyse er en gren af statistikken, der undersøger sammenhængen mellem en afhængig variabel (en variabel hvis værdi ikke er afhængig af værdien på andre variabler), som fx x, y og z (også kaldet responsvariabel eller endogen variabel) og andre specificerede uafhængige variable (en variabel der afhænger af værdien fra en eller flere andre variabler, og er desuden kaldt baggrundsvariable eller eksogene variable). Som regel er x den uafhængige variabel og y er den afhængige. Man forsøger altså at opstille en matematisk sammenhæng mellem en række observerede størrelser ved at tage højde for den statistiske usikkerhed. Når modellen er fastlagt, kan man bl.a. benytte den til at forudsige værdien af den afhængige variabel ud fra andre værdier af baggrundsvariablene.
 

Eksponentiel udvikling er en matematisk model, som vokser eksponentielt hvilket bevirker, at den vokser med en bestemt procentdel – i modsætning til lineær udvikling. En eksponentiel udvikling viser hvad en startværdi vokser til i løbet noget tid, hvis værdien vokser med samme procentdel. Man bruger flg. formel til at vise en eksponentiel udvikling, hvor både a og b skal være positive tal:
y = b • ax
Her er:
• x er den uafhængige variabel (ofte målt i tid).
• y er den afhængige variabel (også benævnt funktionsværdien).
• a er fremskrivningsfaktoren og a er det forholdstal som y ændrer sig med, når x stiger eller falder med 1. Hvis a > 1, da er den eksponentielle udvikling voksende, dvs., at større x-værdi resulterer i større y-værdi. Hvis 0 < a < 1, da den eksponentielle udvikling aftagende, og y er derved eksponentielt aftagende, dvs., at større x-værdi giver mindre y-værdi. Hvis a = 1, da er den eksponentielle udvikling konstant (og y er dermed konstant), dvs. at alle x-værdier giver samme y-værdi (altså b).
• b er den størrelse y har når x er lig med nul. b er skæringspunktet på y-aksen også kaldet begyndelsesværdien.
• r er rentefoden (r = a – 1) og viser hvor meget y-værdien aftager eller stiger med pr. x-enhed.

Via tallene a og b kan man undersøge hvor stor y-værdien var eller vil være til et givent tidspunkt x, og ligeledes kan man bestemme hvornår y-værdien når eller nåede en bestemt værdi.
Tallene a og b kan enten udregnes via en lommeregner, eller via to bestemte formler, der inkluderer punkterne (x1, y1) og (x2, y2) (som ved lineær sammenhæng).

Konstanten a er fremskrivningsfaktoren. Fremskrivningsfaktoren, a, kan defineres som:
a = 1 + procentændring som decimalbrøk (dvs. a = 1 + p)
Når man skriver et procenttal som decimalbrøk, dividerer man procenttallet med 100. Fx giver 23% = 0,23 og 1,04% = 0,0104.
En procentændring kan være positiv og negativ. Når en procentændring er positiv, er der tale om en stigning, fx når man får renter af et beløb i banken. Hvis man får 3,1% i rente på en konto, så bliver fremskrivningsfaktoren 1 + 0,031 = 1,031.

Når procentændringen er negativ, er der tale om et fald, fx når man får rabat i procent på en vare. Hvis man får 15% i rabat, så bliver fremskrivningsfaktoren 1 − 0,15 = 0,85. Dette betyder at hvis en eksponentiel funktion vokser, dvs. y-værdien bliver større når x-værdien bliver større, så er fremskrivnings-faktoren større end én.

Et eksempel på en eksponentiel funktion er ét beløb der bliver sat i banken og trækker renten i et vist antal år. Der sættes fx 12600 kr. i banken, hvilket derfor kan benævnes b. Renten er konstant 3,4%, og dermed udregnes fremskrivningsfaktoren til 1 + 0,034 = 1,034.
Regneforskriften for den eksponentielle udvikling er derfor:
y = 12600 • 1,034x

Ved eksponentiel udvikling kan man også finde ud af hvornår y er fordoblet eller halveret, hvilket kaldes henholdsvis fordoblingskonstanten, og halveringskonstanten,. Dette er derfor udtryk for hvor stor ændring i den uafhængige variabel x der skal til for at få fordoblet eller halveret den afhængige variabel y.
Det positive tal som x skal vokse for at y-værdien fordobles for en eksponentielt voksende udvikling, er fordoblingskonstanten,.
For aftagende eksponentielle udviklinger findes et positivt tal som x skal vokse med for at y-værdien halveres, hvilket benævnes og halveringskonstanten.


En eksponentiel model er en sammenhæng beskrevet vha. regneforskriften f(x) = b•ax. En eksponentiel model er derfor, at beskrive en særlig type af sammenhæng.
Man kan undersøge om en række observationer kan indsættes i en eksponentiel udvikling, ved at afbillede omtalte observationer i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Ligger observationerne/punkterne i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem på en ret linje, er der tale om en eksponentiel udvikling.
 

Gav det lidt mening? ;)

lineær vækst:

         y = ax + b
  
         dy/dx = a                                       væksten er konstant
 

eksponentiel vækst:

          y = b·e^kx

          dy/dx = k·y                                   væksten er proportional med funktionsværdien, som er variabel

hvad er sammenhængen mellem e^kx og a^x??

Beviset er: logf(x+kx)=log(a^kx·f(x))=loga^kx+logf(x)=log·a·kx+log(f(x))≈ax+b

k=delta

@#3

            hvad er sammenhængen mellem e^kx og a^x?

   at
                              e^k·x = (e^k)^x = a^x

                                          e^k = a