Mads Sørensen
Matematik: Differentialkvotient
31. maj 2004
Differentialkvotient
Definition
Lad
f
:
A
→
\
, hvor
A
⊆
\
, være en reel funktion defineret på
A
, og lad
a
være et punkt i
A
.
Man siger så, at
f
er differentiabel i
a
, hvis
a
er et indre punkt i
A
og differenskvotienten
f(x
)
−
f(a
)
,
x − a
hvor
x
≠
a
, har en endelig grænseværdi for
x
gående mod
a
. I så fald kaldes denne grænseværdi
for
f
's differentialkvotient i
a
, og man skriver
f(x
)
−
f(a
)
f
' (
a
) = lim
(1)
x
→
a
x − a
I øvrigt kan man også anvende betegnelserne
d f
(
a
) og
D f
(
a
)
for
f
's differentialkvotient i
a
.
dx
Bevis
n
Jeg vil nu bevise, at funktionen
f
:
\
→
\
med
f(x
) =
x
, hvor
n
∈
`
, har differentialkvotienten
n
−
1
f
'
(
x) = nx
. Ved brug af aksiomet kaldet
induktionsbevis
, viser jeg først sætningen for
n
= 1
:
f(x
)
−
f(a
)
x − a
1
−
1
f
'
(
x) = x
'
= lim
= lim
= 1 = 1
x
(2)
x
→
a
x − a
x
→
a
x − a
Da jeg har vist gyldigheden for
n
= 1
, antager jeg nu, at sætningen gælder for
n
=
p
. Altså at
p
p
−
1
f
'
(
x
) = (
x
)
'
=
px
(3)
Jeg mangler så at bevise sætningen for
n
=
p
+ 1
. For at kunne gøre dette, skal jeg bruge, at der for
m
differentiable funktioner gælder følgende:
m
m
i
−
1
m
d
⎛
⎞
d
⎛
⎞
f
(
x
) =
f
(
x
)
f
(
x
)
fj(x
)
(4)
∏
i
∑
⎜
∏
j
⎟
i
⎜
∏
⎟
dx
i
=1
i
=1
⎝
j
=1
⎠
dx
⎝
j= i
+1
⎠
Med
m
= 2
,
f
f
og
f
2
=
g
, giver (4) den velkendte formel
1
=
(
f
⋅
g
)
'
(
x
) =
f
'
(
x)g(x)+ f(x)g
'
(
x
)
(5)
1