Det Ubestemte Integral
Det ubestemte integral af en given kontinuert funktion (f), giver en ny funktion - som er
stamfunktion (F), til f. Dette er kort sagt det der adskiller det ubestemte integral fra det bestemte
integral, der som bekendt giver en talværdi - typisk for et areal eller et rumfang.
Definition, stamfunktion
Ved en stamfunktion F, forstås en funktion, der har f som afledet funktion.
F(x) er stamfunktion til f(x), hvis F’(x) = f(x)
Eks.:
2
F
(
x
)
=x
er stamfunktion til f (x) = 2x , fordi: F’(x) = f(x). → integrationsprøven
bemærk; at differentiation og integration er hinandens inverse (modsatrettede), regnearter.
1
n
+
1
n
−
1
Integration:
F
(
x
)
=
⋅
x
+
k
Differentiation:
f
'
(
x
)
=
n⋅αx
n
+
1
Lad f være en funktion og lad F være en stamfunktion til f, da har f uendelig mange forskellige
stamfunktioner, idet alle funktioner af typen F + k, hvor k tilhører R, er stamfunktioner til f.
f '(x)dx= f(x)+k
∫
Det at beregne det ubestemte integral af f, er det samme som at bestemme samtlige stamfunktioner
til f. Yderligere er det vigtigt at huske på princippet om diff. Og int. modsatrettede regnearter!
Princippet for differentiation >< integration vises herunder:
1.
dy = d
(
f
(
x
))
= f '
(
x
)
Når dette differentiale integreres, fås:
dy = ∫d
(
f
(
x
))
=∫ f '
(
x
)
dx = f
(
x
)
+k=y+k
∫
Det ubestemte integral giver hermed funktionen selv (undtaget integrationskonstanten).
2.
f(x)dx=F(x)+k
∫
Hvor F er en stamfunktion til f. bestemmes nu differentialet af dette, fås:
d
(
f
(
x
)
dx
)
=
d
(
F
(
x
)
+
k
)
=
d
(
F
(
x
))
+
d
(
k
)
∫
=
F
'(
x
)
dx
+
0
⋅
dx = f
(
x
)
dx