Studieportalen.dk
Spm. 1:
Jeg vil starte med at gennemgå enhedscirklen som mit udgangspunkt i definitionen af sinus, cosinus
og tangens. Derefter vil jeg gennemgå beviset for sinusrelationerne.
Enhedscirklen:
Sinus, cosinus og tangens kan defineres ud fra den såkaldte enhedscirkel, der ser således ud (tegn).
Cirklen ligger i et koordinatsystem, det har centrum i 0,0 og har en radius på 1.
Jeg afsætter en vinkel på en given størrelse et sted i cirklen, hvoraf det ene vinkelben skal ligge på
x-aksen. Det punkt hvor det andet vinkelben skærer cirklen, benævnes P og er retningspunktet for v.
Når vi har retningspunktet for v, kan vi definere cosinus til v og sinus til v på følgende måde:
Cosinus til v er x-koordinaten til P.
Sinus til v er y-koordinaten til P.
Tangens til v defineres som sinus til v divideret med cosinus til v.
Sinus og cosinus kan aldrig være større end 1 eller mindre end -1, eftersom cirklens radius er 1.
Når vi har vinkler mellem 0-180 grader, vil cosinus være entydig, men sinus vil være dobbelttydig.
Dette viser sig ved, at vi afsætter endnu en vinkel i cirklen og aflæser koordinaterne for
skæringspunktet P. Det viser sig, at de to vinkler vi nu har, giver den samme sinus værdi, men
forskellige cosinus værdier, da den ene cosinus er positiv og den anden er negativ.
Vi befinder os derfor i et dobbelttydigt tilfælde med sinus, hvorfor man, såfremt det er muligt, skal
benytte sig af cosinusrelationerne ved trekants beregning, når man kan vælge mellem enten sinus
eller cosinusrelationerne.
Bevis sinusrelationerne:
Ved sinusrelationerne har vi, at der for en vilkårlig trekant gælder følgende:
sinA/a = sinB/b = sinC/c eller a/sinA = b/sinB = c/sinC
Beviset for sinusrelationerne vil gennemføres på baggrund af formlerne for arealberegning.
Vi har en vilkårlig trekant (tegn), og tegner en højde således så vi får to retvinklede trekanter.
Vi er egentlig ikke interesseret i selve højden, men derimod i trekantens sider og vinkler, og vi
finder at beregningen af arealet kan ske ud fra siderne og vinklerne i stedet for ud fra højden.
Vi tager udgangspunkt i vores retvinklede trekant ABD først og gør brug af formlerne ved
retvinklede trekanter og siger:
sinA = modstående/hypotenusen
altså sinA = h(b)/c som vi kan omskrive til c * sinA = h(b)
Vi har altså nu, at højden i vores trekant findes ved c * sinA
Vi tager nu udgangspunkt i vores vilkårlige trekant ABC og for at kunne finde arealet har vi
følgende formel, som vi kan gøre brug af, nemlig:
T = ½ * h * g (arealet findes ved at gange ½ med trekantens højde samt grundlinje)
T = ½ * h(b) * b (vores højde er h(b) og vores grundlinje er b)
T = ½ * c*sinA * b (vi fandt før, at vores højde findes ved c*sinA)