Sandsynlighedsregning (lotto)

Opgaven er speciel derved, at det jo ikke er særlig sandsynligt, ja (næsten) umuligt, at have en lottokupon med mere end én "7"-er på. Hverken en håndskreven eller maskinudfyldt kupon vil udkomme med denne egenskab. Jo i teorien. Derfor vil opgaven være mere realistisk, hvis vi taler om "en eller anden gevinst" på en eller flere af rækkerne. Det er jo klart, at hvis vi indleverer 8 347 680 forskellige Lotto-rækker, er vi 100% sikre på at have en "7"-er, men der er så kun den ene. Skal vores model være mere realistisk, skal vi så at sige lægge "7"-eren tilbage igen for at kunne trække den igen og igen, og det er jo ikke tilfældet, da vi bevidst indleverer forskellige rækker, og maskinen også så vidt muligt ikke gentager samme kombination på samme kupon. Skal vi anlægge binomialmodellen som ved terningekast, med tilbagelægning, vil udsagnet, "hvad er sandsynligheden for gevinst på netop p rækker, hvis jeg spiller n rækker" være mere realistisk i en binomialmodel. Hvis vi vil have en "7"-er-chance på mindst 80%, ja, så må vi jo i banken først for at få råd til indleveringen:  80% af  8 347 680 rækker á 4 kr.  >  26,7 mio. kr. 

Hej Sune,

Tak for forklaringen.

Ja, det er jo faktisk rimeligt umligt, men dette er jo også blot en teoriopgave.

Kan du venligst prøve at angive lidt nærmere, hvordan jeg kan læse problemstilling a & b?

Tak for din hjælp,

Mads

Hvis vi, uden bevidsthed om valget af lotto-tal, tilfældigt tipper 10 rækker, har vi:

Sandsynligheden for at få p "7"-ere:        K_10,p· ( 1 / 8347680 )^p · ( 8347679 / 8347680 )^{10 - p} 

             Sandsynligheden for at få mindst 1 række med 7 rigtige

      =     1 minus sandsynligheden for at få 0 rækker med 7 rigtige.

Så vi skal da udregne:     1  -    K_10,0· ( 1 / 8347680 )⁰ · ( 8347679 / 8347680 )¹⁰ 
                                        =   1  -  ( 8347679 / 8347680 )¹⁰
                                        =     ca.  1,2 ·10 ^{- 6}

Sandsynligheder i dé dimensioner, kan man vanskeligt forholde sig til. En faktor 10 eller faktor 100 mere eller mindre synes ikke at gøre indtryk, men har naturligvis den teoretiske betydning.

Hvis vi tænker os, at vi, (helt i blinde og helt tilfældigt og uden erindring om, hvad vi tidligere har tippet), tipper n rækker, og ønsker, at mindst én række skal give "7"-er , og at sandsynligheden herfor skal være mindst 80%, hvad skal n da være?  Vi får da følgende, ret simple, ligning:

                                    1   -    K_n,0· ( 1 / 8347680 )⁰ · ( 8347679 / 8347680 )ⁿ      =      0,8

                      ⇒             ( 8347679 / 8347680 )ⁿ  =  0,2

                      ⇒           n  = ( log 0,2 ) / ( log 8347679 - log 8347680 )

                      ⇒           n  =  13 435 072

                                   hvilket er ca 1½ gang så mange, som der er, for at ramme "7"-eren.
        

# 4 fortsat:     Der er intet mystisk i, at tallet n er større end dét antal kombinationer, som giver en "7"-er med 100% sikkerhed. Det ligger naturligvis i, at her i 80%-forsøget kan rækkerne jo gentage sig, idet de så at sige lægges tilbage i posen efter hver gang. Det gør de jo ikke dér, hvor man dækker sig ind med lutter forskellige rækker. Så de godt 13 mio forsøg er ikke overraskende. Det kan åbenbart langt bedre betale sig at være 100% sikker på en top-præmie end kun 80% sikker, omend nettoudbyttet er af tvivlsom karaktér. !

Samme som # 4 men hvor vi nu blot ønsker at vinde, en eller anden gevinst, og med 80% chance:

            n = ( log 0,2 ) / ( log 60 - log 61 )           , idet vinderchancen er  1 : 61

    ⇒    n  =  98  rækker 

Hvis vi antager at man ikke gentager en række, bliver sandsynligheden for at få 0 vinderrækker (antal vinderrækker kaldes V)

P(V=0) = (8347679/8347680) * (8347678/8347679) * ... * (8347670/8347671)

Hvis du prøver at skrive udtrykket op, vil du se at de fleste led går ud med hinanden og tilbage har du at

P(V=0) = 8347670/8347680

Sandsynligheden for at få mindst én vinderrække er så

P(V>=1) = 1 - P(V=0) = 1 - 8347670/8347680 = ca. 1.2 ·10^-6

Når du så skal generalisere udtrykket til at gælde for n købte rækker fås

P(V=0) = (8347679 - (n-1)) / 8347680 = (8347680 - n) / 8347680 = 1 - n/8347680

Og sandsynligheden for mindst én vinderrække bliver

P(V>=1) = 1 - (1 - n/8347680) = n/8347680

Nu er det let at finde det n der giver 80% sandsynlighed for at have mindst én vinderrække

n/8347680 = 0.8 ⇔

n = 0.8*8347680 = 6678144

Bemærk også at udtrykket giver et fornuftigt resultat hvis du ønsker at være 100% sikker på gevinst, når du køber n forskellige rækker

n/8347680 = 1 ⇔
n = 8347680

Hvilket netop er alle de forskellige kombinationer af 7 tal ud af 36.

Hej Anders/Sune,

Tak for jeres input. Jeg er lidt forvirret. Altså er vi enige om, at hvis vi gentager eksperimentet ”tip en række” 10 gange, så er sandsynligheden for ”7 vindertal på mindst én række som følger:

    1 - K(10,0)· (1 / 8347680)^0 · (8347679 / 8347680 )^10
= 1 - ( 8347679 / 8347680)^10
= ca. 1,2 ·10^- 6

Vi ønsker nu, at sandsynligheden for ”7 vindertal på mindst én række” skal være mindst 80 %. Hvor stor skal n være – dvs. hvor mange gange skal vi ”tippe” en række?
 

Er #4 (n= 13 435 072) eller #7 (n = 6 678 144) den mest korrekte metode?

Tak,

Mads

 De er lige korrekte, men de antager to forskellige ting. Sunes metode antager at de enkelte rækker bliver valgt uden at se på hvilke andre rækker vi har valgt. Det betyder så at sandsynligheden for ikke at vælge en vinderrække er konstant
p = 8347679/8347680

Som Sune er inde på i flere af hans indlæg betyder antagelsen at man skal spille flere rækker end der er forskellige kombinationer af de 7 tal man kan vælge, for at få en 80% chance for mindst én vinderrække.

Med min metode antager man derimod at man aldrig gentager en række, og så vil sandsynligheden for at vælge en ikke vinderrække ændre sig, alt efter hvor mange ikke-vinderrækker man allerede har valgt. Hvis jeg allerede har valgt én ikke-vinderrække, er sandsynligheden for at vælge en ikke-vinder som række nummer 2 lig med 8347678/8347679, idet jeg allerede har fjernet én ikke-vinderrække.

Som du kan se giver de to metoder næsten det samme resultat (men ikke præcis det samme) når n=10, men i opgave c bliver svarene vidt forskellige.

De to modeller er altså lige korrekte, men har forskellige antagelser. Hvilken antagelse du så synes virker mest fornuftig, er nok lidt en smagssag. På den ene side vil folk normalt ikke spille den samme række to gange, og så er min model den rigtige. Omvendt er der ikke noget normalt i at spille 6678144 forskellige rækker, og hvis man i praksis skulle spille så mange række, skulle man nok bruge en computer for at sikre sig at man ikke spillede den samme række to gange :)

Hvis du har tid til det, synes jeg du lige skal hive fat i din lærer og spørge ham om du skal antage at den samme række kan blive spillet to gange, eller om du skal antage at man kun spiller forskellige rækker. Alt efter hvad han svare kan du så vælge den rigtige metode.

# 8 :    n = 13 435 072    når samme kombination kan forekomme, (i teorien alle gangene),  flere gange.

            n  =  6 678 144  =  80% af samtlige forskellige kombinationer,

                                           når hver kombination forekommer én og kun én gang. 

Begge er rigtige, men afhænger af, hvordan vi ser på forholdet   " flere gange / netop én gang " .

# 7 beskriver kun tilfældet, hvor alle rækker er forskellige.  Da er chancen forholdet imellem antal spillede (forskellige) rækker = n, og det samlede antal  =  K_36,7  =   8 347 680 .

# 6 vil nok ligne virkeligheden bedst !

jeg ved godt det er en gammel tråd, men jeg sidder selv lige med sandsynlighed regning og den her tråd forstår jeg ikke.

i a) Vis, at sandsynligheden for ”7 vindertal” når man ”tipper” én række er

1/8347680=0,00000011974.

går man vel følgende(?)

ifølge K(n, r)*(p)^(r)*(1 - p)^(n - r) hvor 

 n = 70 Antalsparameter da der er 70 tal i 10 rækker
 r = 7 Vi ønsker 7 vindertal
 p= 0,00000011974 Sandsynlighedsparameter for at få netop de syv vindertal

så

K(n, r)*(p)^(r)*(1 - p)^(n - r) vil jo gi

k(70,7)*(0,00000011974)^(7)*(1-0,00000011974)^(70-7)

og det gir på Tiinteractive

3.54032e-49*k(70, 7).

hvilket jo ser helt forkert ud.

kan en af jer stille regnestykke op trin for trin? og måske forklare hvad i gør?

på forhånd tak

Lars