Parametrisering

Jo, det er korrekt, hvad du angiver. Det er dog også korrekt formuleret i det, du har vedlagt. Læs det igennem igen, så du bedre forstår formuleringen.

Det er korrekt at det er u som angiver cirklen og v, der angiver højden

#1

Det eneste sted, hvor u er en ret linje er på et uv-koordinatsystem. Hvordan kan v angive parallelle cirkler?

u er en parameter og ikke en ret linje

#3

Når v holdes konstant og u varieres, beskrives for fastholdt a en cirkel i planen z = v .

Når u holdes konstant og v varieres, beskrives for fastholdt a en ret linie parallel med z-aksen.

#4

Det er rigtigt, men en konstant u-værdi på et uv-koordinatsystem giver en ret linje. Det var det mente, men jeg kan ikke helt se, hvordan v skulle afbilde parallele cirkler eller læser jeg det forkert?

#6

Genlæs #5. Det er variationen i u med v fastholdt, der frembringer parallelle cirkler.

#7

Svaret i #5 giver god mening.

Hvis jeg nu ønsker at finde tangenten til et givent punkt for parameteren r(u(t),v(t)), så differentierer jeg:

r'(t) = dr/dt = ∂r/∂u · u' + ∂r/∂v · v'

Vil det sige, at jeg her får to tangenter svarende til r_u og r_v? Er i tvivl, om r_u = ∂r/∂u eller r_u = ∂r/∂u · u'.

#8

Der er ikke to tangenter, men tangenten er her opløst i to komposanter.

Der vil vel gælde r_u = ∂r/∂u .

#9

Ja, okay.

Når man skal finde en normalvektor til f.eks. en flade, så finder man gradianten og deler den efterfølgende med længden af gradienten.

Hvis g(x,y,z) = -z + √(x² + y²) er en funktion, der beskriver en kegle, hvordan kan normalvektoren så give:

n = [x/(√2(x² + y²)), y/(2√(x² + y²)), -1/√2]?

Jeg får ikke det samme, hvis jeg laver funktionen om til g(x,y,z) = -z² + x² + y². Burde det ikke give det samme? I øvrigt er keglens spids ikke kontinuerlig. Derfor burde man heller ikke kunne finde normalvektoren i det punkt.

#10

"Normalvektoren til en kurve der beskriver en flade" ??

En normalvektor til flade beskrevet ved g(xmymz) = 0 , er vektoren

        n = [∂g/∂x , ∂g/∂y , ∂g/∂z] ,

der med g(x,y,z) = -z + √(x² + y²) bliver

        n = [ x/√(x² + y²) , y/√(x² + y²) , -1]

Vektoren, som du angiver som n , er den ovenfor angivne vektor n/√2 .

#11

Jeg havde gjort følgende:

g(x,y,z) = -z + √(x² + y²) ⇔ z = √(x² + y²) ⇔ z² = x² + y² ⇔ 0 = -z² + x² + y²

∂g/∂x = 2x

∂g/∂y = 2y

∂g/∂z = -2z

Det må man ikke?

#12

Hvis du vil beregne de afledede ∂g/∂x , ∂g/∂y , ∂g/∂z , skal du jo gøre det med den definerede funktion g(x,y,z) .

Ligningen z² = x² + y² definerer z implicit som en funktion af x og y, dvs. z(x,y) . Af den ligning finder man

        2z·∂z/∂x = 2x , og

        2z·∂z/∂y = 2y ,

så

        ∂z/∂x = x/z , og

        ∂z/∂y = y/z .

En normalvektor til fladen med ligningen z = z(x,y) er så vektoren

        n = [ ∂z/∂x , ∂z/∂y , -1] = [ x/z , y/z , -1]

der er samme udtryk som vektoren n i #11.

#13

Hvad med ∂g/∂z? Kan man regne det ud fra z² = x² + y²?

#14

Nej, du har jo ikke længere funktionen g(x,y,z) i spil.

#15

Tak for hjælpen.