Matematik
Linearisering
Hej,
Jeg har en bevægelsesligning, der hedder:
2mx'' - mLsin(θ)θ'' - mLcos(θ)(θ')2 + kx = 0
hvor ' er tegn på differentiation, x er fjederens længdeudvidelse og θ er pendulets vinkeldrejning. Bevægelsesligningen skal lineariseres, for at beskrive en lineær bevægelse. Det antages, at θ er lille, hvorfor sin(θ) ≈ θ.
Nu kommer spørgsmålet:
Hvordan kan man antage, at: sin(θ)θ'' ≈ 0 og cos(θ)(θ')2 ≈ 0
Hvordan kan man bare se det?
Tak på forhånd.
Svar #1
18. april 2014 af jnl123
Hvis man på forhånd ved eller kan antage, at vinklerne er meget små, så θ er tæt på 0, så er:
- sin(θ) tæt på 0
- cos(θ) tæt på 1
Første og anden ordens ændringerne i vinklerne θ' og θ'' må antages at være små også, og så bliver begge led tæt på 0.
Svar #2
18. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
Udtrykket -sin(θ)·θ'' - cos(θ)·(θ')2 er lig med (cos(θ))'' . Hvis θ er lille, er cos(θ) praktisk taget konstant lig med 1.
Svar #3
18. april 2014 af Haxxeren
#1
Jeg er rimelig sikker på, at vi ikke må sætte sin(θ) ≈ 0, men at det hedder sin(θ) ≈ θ
Jeg tænkte på, om der ikke var en metode til at vurdere og løse et problem som dette på en systematisk måde? Følger det så, at hvis vinkeldrejningen er lille, så er både vinkelhastighed og vinkelacceleration lille?
Svar #4
18. april 2014 af Haxxeren
#2
Hvordan ved du, at -sin(θ)·θ'' - cos(θ)·(θ')2 er lig med (cos(θ))''?
Svar #5
18. april 2014 af jnl123
#3 Hvis θ(t) er meget lille for alle t, så må θ' og θ'' også være lille.
#4 Det er sikkert noget med en composite differentation regel blandet med en trigonometrisk relation :)
Svar #6
18. april 2014 af Haxxeren
#5
Pas. Vi har ikke haft om linearisering før, men det virker lidt bøvlet.
Svar #7
18. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
#4
Det kan du jo eftervise ved at differentiere cos(θ) to gange:
(cos(θ))' = -sin(θ)·θ'
(cos(θ))'' = -cos(θ)·(θ')2 -sin(θ)·θ''
Svar #8
18. april 2014 af Haxxeren
#7
Det er rigtigt.
Men hvordan kan vi bruge det på:
2mx'' - mLsin(θ)θ'' - mLcos(θ)(θ')2 + kx = 0?
som vi umiddelbart nu kan omskrive til:
2mx'' - mL(cos(θ))'' + kx = 0?
Jeg skal på en eller anden måde have fjernet det midterste led for at ramme facit.
Svar #9
18. april 2014 af jnl123
#8
cos(θ) er næsten konstant - dermed er cos(θ)' næsten 0
#7
Er:
d/dt cos(θ(t)) = -sin(θ(t)) · d/dt θ(t)
?
Svar #10
18. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
#8
Som jeg skrev i #2: hvis θ er lille, er cos(θ) praktisk taget konstant.
Svar #13
18. april 2014 af Haxxeren
#10
Dvs., hvis cos(θ) ≈ konstant, så (cos(θ))' = 0 og dermed (cos(θ))'' = (0)' = 0. Ikke?
Svar #14
18. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
#12
Der er tale om differentiation af en sammensat funktion.
Svar #15
18. april 2014 af jnl123
#13
Ja det må så være korrekt - evt. med ≈ tegn hele vejen igennem
Svar #17
18. april 2014 af Haxxeren
Lige for at få forståelsen med også - hvad er det vi har gjort? Har vi elimineret cosinus og sinus, fordi de ikke er lineære funktioner?
Svar #18
18. april 2014 af Andersen11 (Slettet)
#17
Man har antaget, at θ er lille, så at cos(θ) er praktisk taget konstant, hvorfor de tidsafledede af cos(θ) kan negligeres. Derved opnår man en lineær differentialligning i x(t) alene.