Matematik

Integraler og konvergens

19. april 2014 af SørenFr (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har to opgaver som jeg har problemer med.

1.

Jeg skal finde ud af om integralet

∫ 1/(sqrt(x+x^3)) dx konvergere eller divegere hvor jeg integrere fra 0 til 1.

Jeg ved det konvergere men kan ikke finde ud af at vise det.

2.

Jeg skal løse følgende integrale

∫ 1/(x(1+ln^2(x))) dx

jeg synes hverken substitution eller partial integration giver noget brugbart.

Håber nogen kan give en hånd. tak


Brugbart svar (0)

Svar #1
19. april 2014 af mathon

2)

   substituer
                      u=ln(x)   og dermed   du=\frac{1}{x}dx

          \int \frac{1}{1+ln^2(x)}\cdot \frac{1}{x}dx=\int \frac{1}{1+u^2}du=tan^{-1}(u)+k=tan^{-1}(ln(x))+k


Brugbart svar (1)

Svar #2
19. april 2014 af jnl123

1)

Det er nok at vise det for grænsepunktet x→0. Evt. L'Hôpital's regel


Brugbart svar (1)

Svar #3
19. april 2014 af mathon

2)
        detaljer
                    for
                           y=tan^{-1}(x)
       gælder:

                           tan(y)=x


                           \frac{\mathrm{d}tan(y) }{\mathrm{d} x}=\left (1+tan^2(y) \right )\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=1

                           \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{1+tan^2(y)}=\frac{1}{1+x^2}

                           \int dy=\int \frac{1}{1+x^2}dx

                          y=tan^{-1}(x)=\int \frac{1}{1+x^2}dx
 


Svar #4
19. april 2014 af SørenFr (Slettet)

Tak for svaret til 2). 

1) ja jeg er helt enig det er tilstrækkeligt at vise for x → 0. Jeg synes bare ikke jeg kan bruge L'Hôpital's regel.

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+x^3}}=\infty

Dette udtryk giver uendelig. Så jeg er ikke helt sikker på hvordan du vil bruge L'Hôpital's regel.


Brugbart svar (0)

Svar #5
19. april 2014 af jnl123

#4 er du sikker på det konvergerer?


Svar #6
19. april 2014 af SørenFr (Slettet)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int_0^1+1%2Fsqrt%28x%2Bx^3%29

ja. intergralet giver omkring 1.8


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. april 2014 af jnl123

Hvis jeg omskriver til f.eks.:

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+x^3}} dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{\sqrt{{1+x^2}} \right ) \left(\frac{1}{\sqrt{x}}} \right )dx

og løser med partiel integration, så får jeg at det går mod ∞. Man kan ikke altid stole på regne-programmer


Brugbart svar (0)

Svar #8
19. april 2014 af Andersen11 (Slettet)

1) Benytter man substitutionen u = √x , du = (1/(2√x)) dx , har man

        \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+x^{3}}}\, \textup{d}x=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1+x^{2}}}\, \textup{d}x=\int_{0}^{1}\frac{2}{\sqrt{1+u^{4}}}\, \textup{d}u

Det sidste integral har ingen singularitet på [0;1] og er derfor konvergent.


Skriv et svar til: Integraler og konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.