Integralregning

I 1) benytter man, at (Arctan(x))' = 1/(1+x²) , og man kan beregne integralet ved at benytte partiel integration:

        ∫ x·Arctan(x) dx = (1/2)·x²·Arctan(x) - (1/2)·∫ x²/(1+x²) dx

                               = (1/2)·x²·Arctan(x) - (1/2)·∫ (x²+1)/(1+x²) dx + (1/2)·∫ 1/(1+x²) dx

                               = (1/2)·x²·Arctan(x) - (1/2)x + (1/2)·Arctan(x) + k

Ok, jeg brugte at   x^2/(x^2+1)=(x^2-1)/(1+x^2) +1/(1+x^2) og får det samme resultat.

2) Benyt substitution u = cos(7x) , du = -7·sin(7x) dx

3) Benyt substitution u = sin(x)

4) Benyt substitution u = sin(x)

#2

Det benyttes også i #1.

5) Benyt, at sin(x) = cos(π/2 - x)   og at   1+cos(x) = 2·cos²(x) .

I #5 skulle den sidste ligning være

        1+cos(x) = 2·cos²(x/2) .

Endelig benyttes også, at (tan(x))' = 1/cos²(x) .

Man får da

        ∫ 1/(1+sin(x)) dx = ∫ 1/(1+cos((π/2)-x)) dx = ∫ 1/(2·cos²((π/4)-x/2)) dx

                                = ∫ 1/cos²(x/2 - π/4) d(x/2)

                                = tan(x/2 - π/4) + k

#6 Det er ikke korrekt.  

∫ 1/(1+sinx) dx = ∫ 1/(1+sinx) * (1-sinx)/(1-sinx) dx 

= ∫ (1-sinx)/cos²x dx = ∫ sec²x-secx tanx dx = tanx-secx + K, hvor K er en konstant og secx =1/cosx pr. definition. Den sidste lighed følger af partiel integration. 

#7

Dit udtryk er da korrekt, men udtrykket i #6 er også korrekt. Der gælder den trigonometriske identitet

        tan(x/2 + π/4) = sec(x) + tan(x) .

Derfor er

        tan(x/2 - π/4) = - tan(π/4 - x/2) = -(sec(-x) + tan(-x))

                              = tan(x) - sec(x)

#8 Ja, det er rigtigt.