Matematik

Kombinatorik

12. juli 2014 af Kurtis1 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Lad os sige der er 122 bolde af hver sin farve. Først trækker man en rød bold. Man lægger den så tilbage igen og trækker igen den samme røde bold.

Hvad er sandsynligheden for dette, og hvad er fremgangsmåden?


Brugbart svar (0)

Svar #1
12. juli 2014 af BadBoyBard (Slettet)

Du mangler nogle flere oplysninger. Hvor mange forskellige farver har du? 

Men hvis det er med tilbagelægning, vil sansynligheden generalt være: 

Sandsynlighed = \frac{\sum (Farven)}{122}

Hvis du eksempelvis har 60 røde bolde, og der er tilbagelægning, så vil sandsynligheden være: 

Sandsynlighed = \frac{60}{122}\times \frac{60}{122}

Hjalp det lidt? 

Bard


Svar #2
12. juli 2014 af Kurtis1 (Slettet)

122 bolde af hver sin farve. Alle forskellige farver/nuancer. Ideen er at man trække den præcis samme farve 2 gange i træk. Jeg kender ikke denne formel tror jeg, det er ved at være over et år siden jeg havde om det.

Hvad giver  [\frac{1}{122}\times \frac{1}{122}]?  Hvis det bare er et gange tegn så er sandsynligheden omtrent 0,000067? 

Tak for hjælpen!


Brugbart svar (0)

Svar #3
12. juli 2014 af BadBoyBard (Slettet)

Nu kan jeg bedre forstå opgaven. Jeg troede, at det var 122 bolde, du havde i alt.

Men jo, du tager det antal bolde i den farve, og dividere så med det antal bolde, du har i alt

Og jo, så vil sandsynligheden for at trække samme farve to gange i træk vil være(ved at formode tilbagelægning):

Sandsynlighed = \frac{AntalBoldeIDenFarve}{AntalBoldeIAlt}\cdot \times \frac{AntalBoldeIDenFarve}{AntalBoldeIAlt}

Og angående den opgave, du besvarede, så jo. Hvis det er 1 bold i en bestemt farve, og der er 122 bolde i alt, så vil sandsynligheden være: 

P = \frac{1}{122} \times \frac{1}{122}

Det er helt rigtigt. 


Svar #4
12. juli 2014 af Kurtis1 (Slettet)

Super mange tak for hjælpen! Det var jo egentlig mere simpelt end jeg troede.. var bange for at jeg skulle ud i noget K(n,r)


Brugbart svar (0)

Svar #5
12. juli 2014 af BadBoyBard (Slettet)

Helt fint -- Selv tak. 


Brugbart svar (0)

Svar #6
12. juli 2014 af SuneChr

# 4
Hvis man nu foretog eksperimentet med at udtage én bold, med tilbagelægning, ville man i n trækninger
få samme farve netop r gange med en sandsynlighed på:

\textup{K}_{n,r}\cdot \left ( \frac{1}{122} \right )^{r}\cdot \left ( \frac{121}{122} \right )^{n-r}


Svar #7
12. juli 2014 af Kurtis1 (Slettet)

Ah Ok så var jeg jo kke helt galt på den..


Brugbart svar (0)

Svar #8
12. juli 2014 af Eksperimentalfysikeren

Du antager, at du har trukket en rød bold i starten. Dette indgår så ikke i sandsynligheden. I anden omgang skal du finde sandsynligheden for at trække netop denne bold. Det er helt uafhængigt af, hvad du har gjort før, så det er 1/122.

Den anden udtrækning er uafhængig af den første. Du har ét gunstigt udfald blandt 122 mulige. Den eneste betydning af første udtrækning er at forvirre dig, du behøver ved andet træk ikke at vide, at valget "rød" stammer fra første udtrækning.

Hvis opgaven går ud  på, at du ved to træk med tilbagelægning skal få samme farve, så skal du huske, at der er 122 par, der giver gunstigt udfald, mens der ialt er 122*122 par, hvorfor sandsynligheden for et gunstigt udfald er 122/(122*122) = 1/122, altså samme værdi.


Brugbart svar (0)

Svar #9
13. juli 2014 af Eksperimentalfysikeren

Din beskrivelse kan også fortolkes sådan, at du skal finde sansynligheden for at trække den røde bold i begge træk. I så fald har du 1 gunstigt udfald: (rød,rød) ud af ialt 122*122 mulige udfald. Sandsynligheden er så 1/(122*122)

Din beskrivelse er ikke helt præcis. Skal du blot trække samme bold begge gange eller skal det være den røde bold begge gange?


Brugbart svar (0)

Svar #10
13. juli 2014 af SuneChr

# 0 og 2
Ud af det skrevne må man formode, at opgaven går ud på at udtrække ét element af hver af to identiske mængder M hver indeholdende 122 forskellige elementer   a1 , a2 , ... , a122
Udfaldsrummet er da  M2 = { a1 , a2 , ... , a122 } × { a1 , a2 , ... , a122 }  og  de to gunstige udtræk er  { aj , aj }
j ∈ { 1 , 2 , ... , 122 }
Sandsynligheden for at begge elementer er identiske er da    \left ( \frac{1}{122} \right )^{2}


Brugbart svar (0)

Svar #11
13. juli 2014 af Eksperimentalfysikeren

Ud fra #2 kommer jeg til det resultat, at det ikke er et spørgsmål og at trække den røde bold to gange, men at trække den samme bold begge gange. #10: Du glemmer, at der er 122 gunstige udfald, nemlig ét for hver mulig værdi af j. Derfor er sandsynligheden 122/1222 = 1/122.

Hvis vi ser på et simplere tilfælde med tre bolde, {r,g,b} er de mulige udfald = {(r,r),(r,g),(r,b),(g,r),(g,g),(g,b),(b,r),(b,g),(b,b)}, hvoraf {(r,r),(g,g),(b,b)} er mængden af gunstige udfald. Heraf har vi p = 3/9 = 1/3.


Brugbart svar (0)

Svar #12
13. juli 2014 af SuneChr

# 11
Det er korrekt, at hvis farven ingen betydning har, er antallet af gunstige udtrukne identiske par 122 og sandsynligheden 1/122
# 10  er derfor kun korrekt, hvis man, forinden første udtrækning, har bestemt sig for, hvilken farve man tænker på.
Beklager den uheldige og misvisende formulering. 

 


Skriv et svar til: Kombinatorik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.