Matematik

Find fejlen?

20. juli 2014 af U2097A07 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej jeg har problemer med at løse sidste delopgave i følgende opgave.

I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i (1,-2,0) og radius 5.

a) Gør rede for at punktet P (4,2,0) ligger på kuglen - resultat: (x-1)^2 +(y+2)^2 = 25

b) bestem en ligning for tangetplanen a til kuglen i punktet P. - resultat: 3x+4y = 20

c) bestem den spidse vinkel mellem planerne a og b. resultat: 68,9 grader

også!

d) bestem en parameterfremstilling for linje l. ??? hvordan løser jeg denne opgave.. jeg har to planer der skærer hinanden og har fundet normal og retningsvektoren, men ka ik gå videre ???

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. juli 2014 af mathon

kuglens ligning
er
(x-1)² + (y+2)² + z²= 25

(x-1)² + (y+2)² = 5²
er ligningen for cirklen med centrum i (1,-2) og radius r = 5

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. juli 2014 af mathon

Hvilken plan b
og hvilken linje l?

Svar #3
21. juli 2014 af U2097A07 (Slettet)

planerne a og b skærer hinanden i linjen l

a= 3x+4y=20
b=-3x+4z=22

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. juli 2014 af Eksperimentalfysikeren

Start med at finde to punkter på l. hvert af de to punkter skal ligge i begge planer. Du kan f. eks. starte med at sætte x=0 og så finde di tilsvarende værdier af y og z. Prøv derefter med en anden x-værdi. Så har du to punkter, hvoraf det ene kan få rollen som det faste punkt i parameterfremstillingen. Retningsvektoren får du ved at trække punkternes koordinatsæt fra hinanden.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. juli 2014 af mathon

planen
               a: 3x+4y=20   for x=0
                   4y=20
                   y=5
planen
               b: 4z=22 for x=0
                   z=(11/2)

dvs fællespunktet F₁ = (0,5,(11/2))

og
planen
               a: 3x+4y=20   for y=0
                   3x=20
                  x=(20/3)

planen
               b: -3x+4z=22 for x=(20/3)
                   -20+4z=22
                  z=(21/2)

dvs fællespunktet F₂ = ((20/3),0,(21/2))

en ligning for planerne a og b's
skæringslinje
har bl.a. retningsvektor

                      $\vec{r}_1=\overrightarrow{F_1F_2}=\overrightarrow{OF_2}-\overrightarrow{OF_1}=\begin{pmatrix} \frac{20}{3}\\0 \\ \frac{21}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\5 \\ \frac{11}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{20}{3}\\-5 \\ 5\end{pmatrix}$
og dermed også
retningsvektor
                     $\vec{r}=\frac{3}{5}\cdot \vec{r}_1=\frac{3}{5}\cdot \begin{pmatrix} \frac{20}{3}\\-5 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\-3 \\ 3\end{pmatrix}$      $og\; fikspunkt\; F_1$

en parameterfremstilling for planskæringslinjen gennen F₁ og F₂
er derfor
$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OF}_1+t\cdot \vec{r}\; \; \; \; t\in \mathbb{R}$

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\5 \\ \frac{11}{2} \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-3 \\ 3 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. juli 2014 af Andersen11 (Slettet)

Planen a: 3x + 4y = 20 har vektoren n_a = [3;4;0] som normalvektor.

Planen b: -3x +4z = 22 har vektoren n_b = [-3;0;4] som normalvektor.

Skæringslinien mellem de to planer a og b har derfor vektoren

r = n_a × n_b = [3;4;0] × [-3;0;4] = [16;-12;12] = 4·[4;-3;3]

som retningsvektor.

For punkter på skæringslinien gælder der (ved addition af de to planers ligninger)

4y + 4z = 42 .

Vælger vi en værdi for y, for eksempel y = 0, kan vi beregne den tilhørende værdi for z, dvs. her

z = 42/4 = 21/2 .

Indsætter vi nu y = 0 , z = 21/2 i en af planernes ligninger, finder vi x-koordinaten for dette punkt på skæringslinien, dvs

x = (20 - 4y)/3 = 20/3 .

Punktet (20/3 , 0 , 21/2) er derfor et punkt på skæringslinien, og en parameterfremstilling for skæringslinien er da

[x , y , z] = [20/3 , 0 , 21/2] + t·[4 , -3 , 3] , t ∈ R .

For t = -5/3 får det faste punkt på linien, der er benyttet i parameterfremstillingen i #5.

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. juli 2014 af mathon

hvor parameterfremstillingerne

                                $\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}={\color{Red} \begin{pmatrix} 0\\5 \\ \frac{11}{2} \end{pmatrix}}+t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-3 \\ 3 \end{pmatrix}\; \; \; \; t\in \mathbb{R}$

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}={\color{Blue} \begin{pmatrix} \frac{20}{3}\\0 \\ \frac{21}{2} \end{pmatrix}}+t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-3 \\ 3 \end{pmatrix}\; \; \; \; t\in \mathbb{R}$

blot benytter hver sit faste punkt,

men hvor metoden i #6 til bestemmelse af sporets retningsvektor $\vec{r}$ er almen - og i den henseende bedre.

Svar #8
21. juli 2014 af U2097A07 (Slettet)

hej MAthon, jeg forstår ikke hvor du får 3/5 fra ?

og -3x+4z=22 for x=(20/3)
-20+4z=22
z=(21/2)

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. juli 2014 af mathon

#8
     Ligesom man almindeligvis forkorter brøker til mindst mulig praktisk håndterbare tæller og nævner,
     anvender man oftest den mest enkle retningsvektor,
     som i dette tilfælde
     er
                     $\vec{r}=\frac{3}{5}\cdot \vec{r}_1=\frac{3}{5}\cdot \begin{pmatrix} \frac{20}{3}\\-5 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\-3 \\ 3\end{pmatrix}$

når der ganges med 3 bortskaffes nævneren og du har

                                                 $\begin{pmatrix} 20\\-15 \\ 15 \end{pmatrix}$      hvor de tre koordinater er miltipla af 5
   dvs som divideret med 5 giver
                                                $\begin{pmatrix} 4\\-3 \\ 3 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. juli 2014 af mathon

-3x+4z=22 for x=(20/3)
-20+4z=22
z=(21/2)

$-3\cdot \frac{20}{3}+4z=22$

-20+4z=22

4z=22+20=42

$z=\frac{42}{4}=\frac{21}{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. juli 2014 af thomaslarsen90Arocketmailcom (Slettet)

Hej Torben. Du har lavet så mange fejl i dine indlæg, så jeg vil samle dem og poste dem op her om noget tid..

God Sommer!

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#11

Det skal du da være velkommen til.

Skriv et svar til: Find fejlen?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.