Matematik

Trigonometriske funktioner

19. august 2014 af Esterificering - Niveau: A-niveau

Jeg sidder med denne ligning som jeg skal løse, men jeg er lidt uklar over hvilken fremgangsmåde jeg skal bruge. Jeg har forsøgt at benytte mig af sinus-grundligningen, men jeg sidder lidt fast. 

Løses i intervallet \left [ 0,2\pi \right ]

3sin\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )=sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right )+2

på forhånd tak.


Brugbart svar (1)

Svar #1
19. august 2014 af mathon

           \small \sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right )=\sin\left ( \frac{\pi }{12} \right )

           \small \small \small \sin\left ( \frac{\pi }{12} \right )=\sqrt{\frac{1-\sin\left ( 2\cdot \frac{\pi }{12} \right )}{2}}=\sqrt{\frac{1-\sin\left ( \frac{\pi }{6} \right )}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}


Svar #2
19. august 2014 af Esterificering

Tak for dit svar mathon. Kan du eventuelt forklare kort hvad du har gjort?


Brugbart svar (0)

Svar #3
19. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Isoler sin(π/3 - x) og beregn den eksakte værdi for sin(π/4 - π/6) .

Benyt additionsformlerne til at beregne den eksakte værdi

        sin(π/4 - π/6) = sin(π/4)·cos(π/6) - cos(π/4)·sin(π/6)

                             = (√2)/2 · (√3)/2 - (√2)/2 · (1/2)

                             = (√2)·((√3) - 1) / 4


Svar #4
19. august 2014 af Esterificering

Jeg kan bare ikke se hvor ''x'' er blevet af i din ligning?


Brugbart svar (1)

Svar #5
19. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#4

Man skal så løse ligningen

        sin((π/3) - x) = (2/3) + (√2)·((√3) - 1) / 12

Benyt, at

        sin(y) = z ⇒ y = sin-1(z) ∨ y = π - sin-1(y) , plus modulo 2π .


Svar #6
19. august 2014 af Esterificering

Ahh, stærkt. Tak


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#1

Udtrykket i den sidste linie er forket. sin(π/12) er ikke lig med 1/2 . Du benytter en forkert formel for sinus til den halve vinkel. I stedet har man

\sin \frac{\pi }{12}=\sqrt{\frac{1-\cos(2\cdot \frac{\pi }{12})}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi }{6}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}


Svar #8
19. august 2014 af Esterificering

men hvad sker der med konstanten +2 i udtrykket sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right )+2


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#8

Den bliver jo også divideret med 3, når man isolerer sin((π/3) - x) .


Svar #10
19. august 2014 af Esterificering

Nu er vi lige begyndt på dette emne, og den manglende forståelse bunder måske også i, at jeg regner en smule fremad i bogen, men kan denne fremgangsmåde også benyttes eller er det helt galt?

3sin\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )=sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right )+2

sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6} \right )+2\approx 2,25882

\frac{3sin\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )}{3}=\frac{2,25882}{3}\Leftrightarrow sin\left ( \frac{\pi }{x}-x \right )=0,75294

og så gå herfra?

Vi har endnu ikke regnet med nogen konstanter foran de trigonometriske funktioner. Vi har kun fået oplyst ligninger som kun indeholder funktionen på den éne side og et decimal tal på den anden side af lighedstegnet. som ex.

cosx=0,516

hvor vi så har benyttet os af:

cos(x)=a\Leftrightarrow x_{1}=cos^{-1}(a)


Brugbart svar (0)

Svar #11
19. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Det er svært at læse ligningerne. Benyt svaret i #5.

Man har

        sin((π/3) - x) ≈ 0,75294

        (π/3) - x = sin-1(0,75294) + ρ·2π ∨ (π/3) - x = π - sin-1(0,75294) + ρ·2π ,

dvs. i intervallet [0;2π[ findes så

        x = (π/3) - sin-1(0,75294) = 0,718279 ∨ x = (π/3) - π + sin-1(0,75294) + 2π = 5,051308 .


Svar #12
19. august 2014 af Esterificering

*FEJLINDTASTNING


Brugbart svar (0)

Svar #13
19. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Vi kan umuligt vide, hvad du taster ind på din lommeregner. Bemærk, at 2π = 6,28319 (5 dec).


Brugbart svar (0)

Svar #14
19. august 2014 af mathon

Jahh - rettelse:

       \small \sin(x)=\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}      for 0 < x < π

       \small \small \sin\left ( \frac{\pi }{12} \right )=\sqrt{\frac{1-\cos(\frac{\pi }{6})}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}

     \small \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}+2\approx 2,25882


Svar #15
19. august 2014 af Esterificering

Yes, jeg tror at jeg har fanget den nu. 

Mange tak for tålmodigheden de herre.


Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.