Matematik

Konvergens og divergens

26. august 2014 af Haxxeren - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg har netop om konvergens og divergens, men er faldet over et afsnit i lærebogen som jeg ikke forstår. Det har jeg vedhæftet i det nedenstående link:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Hvis man har en sekvens - hvordan kan man "bare lige" finde ε og N som de nævner i lærebogen? Er der nogen, der kan give et nemt eksempel, der kan illustrere det?

Tak på forhånd.


Brugbart svar (0)

Svar #1
26. august 2014 af Drunkmunky

Betragt følgen zn defineret ved 1/√n. For at benytte sig af den ovenstående måde må vi "gætte" os til en grænseværdi (det er ikke nødvendigt at gætte sig til en hvis bare man skal vise den eksisterer). Lad ε>0 være givet og bemærk at vi har følgende biimplikationer for vilkårligt naturligt tal n:

Vi finder da et naturligt tal N, jf Arkimedes Princip, så N>1/(ε2) og dermed vil der for alle n≥N gælde, at |1/√n-0|<ε, og vi konkluderer at 1/√n → 0 når n →∞


Svar #2
28. august 2014 af Haxxeren

#1

Jeg skal lige være sikker på, hvad der er hvad. Vi er enige om, at N = 1/ε2 og at ε er en værdi jeg selv kan vælge og som skal være min absolut mindste "fejl" i tilnærmelsen af den eksakte grænseværdi (som er lig 0). Korrekt?


Brugbart svar (0)

Svar #3
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#2

N skal være et naturligt tal, så man kan sætte N = [1/ε2] + 1 , hvor [..] betyder den hele del.

En følge zn er konvergent med grænseværdi c , hvis der til ethvert ε > 0 findes et helt tal N, så at alle følgens elementer fra trinnet N ligger tættere på c end ε. Det er det, der er udtrykt for eksemplet i #1.

        ∀ε∈R+ ∃N∈N ∀n∈N: n ≥ N ⇒ |zn - c| < ε

Tallet N, der er trinstarten, vil afhænge af ε . Hvis følgen er konvergent, kan man, uanset hvor lille (og positiv) ε er, altid finde et N, så at alle følgens elementer fra trinnet N og op ligger tættere p9 grænseværdien c end finheden ε.


Svar #4
28. august 2014 af Haxxeren

#3

Jo, men hvis jeg nu sætter ε = 10, så giver "resultatet" i #1 n > 0,01.

Det du siger så er, at n så må være 0,01 + 1 ≈ 1 for at det bliver et naturligt tal?


Brugbart svar (0)

Svar #5
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#4

Ja, og det passer jo også fint med, at alle leddene i følgen 1/√n ligger tættere på 0 end 10 .


Svar #6
28. august 2014 af Haxxeren

#5

Hvad hvis man i stedet for tallet 0,01 fra før kom frem til f.eks. 1,40 eller 1,50. Så følger det vel af teorien, at man runder op til et helt tal, som så må være n > 2?


Brugbart svar (0)

Svar #7
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#6

Ja. Hvis jeg for eksempel kommer med ε = 1/100 , kan vi bruge N = 10000 eller N = 10037 , eller N = 20307 , men ikke N = 8533 .


Svar #8
28. august 2014 af Haxxeren

#7

Ja, grænsen går vel ved 10000.


Brugbart svar (0)

Svar #9
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#8

Ja, 10000 er det mindste N, der kan benyttes, hvis ε = 1/100 . Men vi kunne også have benyttet 10001, eller et hvilket som helst naturligt tal større end 10000 . Pointen er, at vi blot skal finde et N, ikke nødvendigvis det mindste N, så at alle følgens elementer efter trin N ligger tættere på grænseværdien end ε.


Svar #10
28. august 2014 af Haxxeren

#9

Jeg er med nu.

Jeg har et kompleks regnestykke, der går ud på at finde ud af, om det er konvergent eller ej jv. "ratio test"-metoden |zn+1/zn| = L, hvor vi lader n gående mod uendelig:

1) (100 + 75i)n/n!

Mit bud: (|100 + 75i|n+1/(n + 1)!) / (|100 + 75i|n/n!) = |100 + 75i|n+1/|100 + 75i|n · n!/(n + 1)!

Jeg kan sådan set ikke komme videre. Ser det rigtigt ud?


Brugbart svar (0)

Svar #11
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Ja, det ser rigtigt ud. Forkort så med |100 + 75i|n og med n! .


Svar #12
28. august 2014 af Haxxeren

#11

Skal jeg dividere følgende med de led du skrev?:

|100 + 75i|n+1/|100 + 75i|n · n!/(n + 1)!


Brugbart svar (0)

Svar #13
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Nej, du skal forkorte udtrykket som du har det dér med |100 + 75i|n og med n! .

Bemærk, at an+1 / an = a , og at (n+1)! = (n+1) · (n!) .


Svar #14
28. august 2014 af Haxxeren

#13

Så får jeg: |100 + 75i|/(n + 1)

Hvordan kan man i øvrigt se, at (n+1)! = (n+1) · (n!)?


Brugbart svar (0)

Svar #15
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

Ja, det er korrekt.

Det følger jo af definitionen for n! eller for Γ(n) .


Svar #16
28. august 2014 af Haxxeren

#15

Pas. Det sidste har jeg aldrig set eller hørt om. Er det bare en regneregel?


Brugbart svar (0)

Svar #17
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Hvordan er n! defineret i din verden?


Svar #18
28. august 2014 af Haxxeren

#17

F.eks. er 5! = 5·4·3·2·1 = 120.


Brugbart svar (0)

Svar #19
28. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#17

Right. Og hvordan beregnes 6! ? og (n+1)! ?


Svar #20
28. august 2014 af Haxxeren

#19

6! er ikke noget problem, men (n+1)! er. Den er drilsk, fordi der står n og ikke et tal.


Forrige 1 2 3 4 Næste

Der er 76 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.