Matematik

Afstandsformel

26. august 2014 af Manu0407 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej! 
jeg skal løse følgende opgave:

Undersøg om trekant ABC er retvinklet, hvis vinkelspidsernes koordinater er: A(7,2), B(1,8), C(1,-4)
 

Jeg har gjort følgende:

AB:√((7-1)^2+(2-8)^2)

AC: √((7-(-4))^2+(2-1)^2

BC: √((1-1)^2+(8-(-4))^2)

Hvordan kommer jeg videre herfra? 


Brugbart svar (0)

Svar #1
26. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Undersøg om to af vektorerne AB, AC eller BC står vinkelret på en af de andre vektorer. Dvs. Beregn skalarprodukterne  ABAC , ABBC og ACBC . Hvis et af skalarprodukterne er lig med 0, er trekanten retvinklet.

Eller undersøg, om en af ligningerne

        |AB|2 + |AC|2 = |BC|2

        |AB|2 + |BC|2 = |AC|2

        |AC|2 + |BC|2 = |AB|2

er opfyldt. Det er tilstrækkeligt at undersøge, om summen af de to mindste siders kvadrater er lig med kvadratet på den største sides længde.


Brugbart svar (0)

Svar #2
26. august 2014 af SuneChr

Du behøver ikke kvadratrodstegn.
Benyt Pythagoras' sætning.
Hvis summen af to af sidernes kvadrater er lig med den tredje sides kvadrat, er trekanten retvinklet.


Brugbart svar (0)

Svar #3
26. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

#0

Du har stillet det op forkert for AC.


Brugbart svar (0)

Svar #4
27. august 2014 af mathon

Undersøg om to af vektorerne AB, AC eller BC står vinkelret på en af de andre vektorer. Dvs. Beregn skalarprodukterne  ABAC , ABBC og ACBC . Hvis et af skalarprodukterne er lig med 0, er trekanten retvinklet.

          \small \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 7\\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 8 \end{pmatrix}=7\cdot 1+2\cdot 8=23

          \small \small \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} 7\\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -4 \end{pmatrix}=7\cdot 1+2\cdot (-4)=-1

          \small \small \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} 1\\ 8 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -4 \end{pmatrix}=1\cdot 1+8\cdot (-4)=-31


Svar #5
27. august 2014 af Manu0407 (Slettet)

Men trekanten er jo så ikke retvinklet?


Brugbart svar (0)

Svar #6
27. august 2014 af mathon

#5
        Korrekt konkluderet.


Brugbart svar (0)

Svar #7
27. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Konklusionen i #5 er korrekt konkluderet på basis af udredningen i #4. Men udredningen i #4 er ikke korrekt. Opgaven giver koordinatsættene for trekantens tre vinkelspidser, og man skal derfor først beregne koordinatsættene for de vektorer, der repræsenterer trekantens tre side. Man har i stedet

        AB = [-6 ; 6] ,  AC = [-6 ; -6] , BC = [0 ; -12] .

Det ses heraf, at

        ABAC = (-6)·(-6) + 6·(-6) = 36 - 36 = 0 .

Endvidere har man

        |AB|2 = 2·62 , |AC|2 = 2·62 , |BC|2 = 122 = 4·62 = |AB|2 + |AC|2 .

Da |AB| = |AC| er trekanten ligebenet, og da |AB|2 + |AC|2 = |BC|2 , er trekanten derfor retvinklet. De to spidse vinkler er derfor hver 45º .


Brugbart svar (0)

Svar #8
27. august 2014 af mathon

Sorry:
              …læste det som vektor a, b og c


Brugbart svar (0)

Svar #9
27. august 2014 af mathon

korrektion til

         \small \small \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -6\\ 6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -6\\ -6 \end{pmatrix}=\left (-6 \right )^2-6^2={\color{Red} 0}

og

          \small \small \small \left | \overrightarrow{AB} \right |^2=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -6\\ 6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -6\\ 6 \end{pmatrix}=(-6)^2+6^2=72

          \small \left | \overrightarrow{AC} \right |^2=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -6\\ -6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -6\\ -6 \end{pmatrix}=6^2 +6^2=72

          \small \small \left | \overrightarrow{BC} \right |^2=\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 0\\ -12 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0\\ -12 \end{pmatrix}=0 +12^2=144=\left ( 2\cdot 72 \right )


Brugbart svar (0)

Svar #10
27. august 2014 af mathon

hvoraf
                      \small \small \left | \overrightarrow{AB} \right |^2+\left | \overrightarrow{AC} \right |^2=72 +72 =2\cdot 72

                      \small \small \left | \overrightarrow{BC} \right |^2= 2\cdot 72


Svar #11
27. august 2014 af Manu0407 (Slettet)

AHA! Tusind tak! Nu giver det meget mere mening! ;-)


Skriv et svar til: Afstandsformel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.