Matematik

Differentialligning

27. august 2014 af lufthansa (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har følgende

$\frac{d^{6}x}{dt^{6}}-x = 0$

og jeg skal finde den komplekse løsning. Karakter ligningen bliver til

$\lambda ^{6}-\lambda = 0$

Umiddelbart er 1 jo i hvert fald en reel løsning, og så mangler jeg bare de komplekse.

Jeg har prøvet med Maple men svaret er meget uoverskueligt og stemmer heller ikke over ens med resultatet som er opgivet. I resultatet er -1 også en reel løsning og det forstår jeg ikke hvorfor den er ?

Men resultatet til ligningen er

$y(t) = c_{1}e^{t} + c_{2}e^{-t} + c_{3}e^{(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})t} + c_{4}e^{(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})t} + c_{5}e^{(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})t} + c_{6}e^{(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})t}$

Hvordan finder jeg de komplekse rødder til karakterligningen og hvorfor er -1 også løsning ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. august 2014 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Du har fået opskrevet karakterligningen forkert. Den skal være

λ⁶ - 1 = 0 <=>

λ⁶ = 1

Som er et eksempel på en "binom ligning".

Brugbart svar (1)

Svar #2
27. august 2014 af GalVidenskabsmand (Slettet)

Den binome ligning

zⁿ = a = r_v (r er modulus og v argument)

har løsningerne

$z=\sqrt[n]{r}\left [ cos(\frac{v}{n}+p\cdot \frac{2\pi }{n})+i\cdot sin(\frac{v}{n}+p\cdot \frac{2\pi }{n}) \right ], p=0,1,...,n-1$

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.