Stationær svar og løsning. Forskel ?

Du skal bare sætte det ind i højre side altså erstatte u med udtrykket. Det er en lineær differentialligning, så du kan nøjes med at finde løsningen til u = e^3t og så addere resultatet til resultatet for den foregående opgave

Kommer den til at hedde

Der er ikke noget der skal differentieres ? der er jo et u' !

Og hvorfor kan jeg nøjes med kun at finde en løsning til e^3t og så addere den homogene løsning det forstår jeg ikke helt ?

Du skal også indsætte u' på højre side.

Det er en lineær differentialligning, hvorfor du kan løse de hver for sig

Hvis du har at y₁(t) er løsningning til differentialligning med højre side = u₁'(t)+u₁(t) og y₂(t) er løsningen til differentialligningen med højre side = u₂'(t)+u₂(t) vil y= a*y₁(t)+b*y₂(t) være løsningen til differentialligningen med højre side =  a*(u₁'(t)+u₁(t) )+b*(u₂'(t)+u₂(t)

Det kan let vises ved at gøre prøve

Det er pænt af dig men jeg er ikke med på hvad jeg skal gøre.

Jeg forstå ikke hvad jeg skal indsætte hvor og hvordan jeg kommer videre.

#0: Jeg er slet ikke med her:

H(s) = ( s + 1 ) / ( s⁴ - 16 )

u(t) = e^t   =>     u(s) = 1 / ( s - 1 )

y(s) = u(s) * H(s) = ( s + 1 ) / ( ( s - 1 ) * ( s⁴ - 16 ) )

y(t) = L_t^-1 ( y(s) ) = ( se vedhæftede )

Hvor er det, vi går skævt af hinanden ?

H(s) = (s+1) / (s⁴-16)

u(t) = e^t   dvs at s = 1 , s kommer fra e^st

H(s)*e^t = (1+1)/(1⁴-16)*e^t = -2/15e^t

Efter min matematikbogs fremgangs måde :o)

#5:  I sidste spørgsmål, skal du blot benytte  u(t) = e^3t + 3e^t   i stedet.

#7 ja, og det er så det jeg ikke forstår hvordan jeg skal gøre :o)

#6:  Sådan har jeg godt nok ikke lært det. Jeg har lavet rigtig mange regulatorer, der virkede.

Gad vide, hvordan det er gået til ?

#8

Du skal bruge superpositionsprincippet.

Så jeg skal løse to ligninger

venstre side = e^3t

venstre side = 3e^t

Og lægge løsningerne sammen ?

Ja som også forklaret i #3.

Altså løs først differentialligningen med u₁(t)=e^3t og dernæst med u₂(t)=3e^t. Løsningen hørende til u(t) er så summen af de 2

Ja men jeg forstod ikke #3 til at starte med. Jeg troede jeg skulle differentiere noget pga u' og u.

Jeg troede ikke at jeg bare uden videre kunne erstatte det med de to ligninger fra #11

#13:   L_t ( u(t) + u'(t) )  =

u(s) + s*u(s) =

( 1 + s ) * u(s)

Det er jo derfor, at der kommer til at stå  ( 1 + s )  i tælleren af overføringsfunktionen  H(s).

En vigtig pointe ved Laplacetransformation er jo, at man differentierer ved at gange med s, og man integrerer ved at dividere med s.

Ja, det gik lige lidt stærkt i #12. Du skal ikke løse differentialligningerne med ventsresiderne e^3t og 3e^t som skrevet i #11.

Du skal finde en partikulær løsning hørende til u₁(t)=e^3t. Det kan gøres som du gjorde før med overføringsfunktionen så y₁(t)=H(3)e^3t.

For at finde en partikulær løsning y₂(t) hørende til u₂(t)=3e^t, skal du finde en partikulær løsning til differentialligningen

dvs.

Det kan f.eks. gøres vha. gættemetoden.

En partiklær løsning hørende til u(t) er nu af supperpositionsprincippet y(t) = y₁(t) + y₂(t)

Ahh, så er jeg med. Alletiders, mange tak

#15 Ja, jeg er altså åbenbart ikke helt med alligevel. Hvor kommer e^t fra i y₂(t) ligningen som skal løses ?

Der er også flere fejl i 15. Der skal stå 16y ikke 16   u(t) =  u'(t) = 3*e^t så der skal på højre side stå 3*e^t+3*e^t= 6*e^t
 

På højre side står der u' + u og u(t) = e^3t + 3e^t

Er det det samme som u'(t) + u(t) <=> (e^3t  + 3e^t)' + (e^3t + 3e^t)

Jeg er slet ikke med :o)

Det er korrekt. I #15  og i #3 er der gjort opmærksomt på at du kunne løse den med de to højre side for sig. Da der kun er tale om e^t ikke e³t, troede jeg at det var det du regnede med